Demonstration - Série entière avec suite d'intégrales

[psp]

Bonsoir,

Je suis tombé sur la relation :


Pour tout f continue sur [a,b]

Je n'arrive ni à la démontrer ni à trouver une démonstration sur internet.

De l'aide ?

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Comme est continue sur l'intervalle fermé elle y atteint son max en un certain point .
Tu n'as aucun mal à montrer que le terme de gauche est inférieur ou égal à celui de droite.
Aprés, pour "l'autre sense, la seule idée qui me vient, c'est "à la main", c'est à dire en utilisant la définition de la continuité.
On fixe . il existe des réels fixée, tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.

[DamX]

Bonsoir,

Je suis tombé sur la relation :


Pour tout f continue sur [a,b]

Je n'arrive ni à la démontrer ni à trouver une démonstration sur internet.

De l'aide ?

Merci d'avance

Bonsoir,

Avant de s'attaquer à une demo, le mieux est probablement d'obtenur une intuition du phénomène. Par exemple tout simplement regarder ce qui se passe avec f(x) = x sur [0,1], tracer f, f^2, f^3, etc... Puis calculer l'integrale correspondante et voir que cela marche bien, toute la "masse" qui va donner la valeur à l'integrale se situe au niveau du point culminant de la fonction.
Autre moyen de le visualiser, remplace l'integrale par une somme finie de termes, Ca correspond donc à une moyenne géométrique de puissance n. Et tout bêtement si tu as deux termes a et b avec a>b, tu as a^n>>b^n et tu as (a^n+b^n)^(1/n) -> a = Max(a,b). Il se passe la Meme chose avec l'integrale qui est une "somme continue".

Ca c'était pour l'intuition. Pour la demo je te lance sur une piste possible, montre l'inegalité dans les deux sens.

sens : plus technique. Sers toi de la définition de sup. Prends un epsilon>0, tu sais que tu as un z tq f(z)>sup-epsilon, puis par continuité tu as un intervalle [z-,z+] autour de z tel que f(x)>sup-2*epsilon sur cet intervalle. Par quoi du coup peux-tu minorer l'integrale (fonction de n) ? Et donc par quoi en passant à la limite peux tu minorer la limite quand n->+infini. Et puis conclure.

En espérant que Ca aide,

Damien

PS : flute j'arrive trop tard bon en tout cas on est en phase niveau demo avec ben

[psp]

J'ai compris merci beaucoup

[mr_pyer]

Edit : J'ai pris mon temps pour rédiger :zen: Entre temps tu as eu de très bonnes réponses qui devrait te permettre de résoudre ton problème.

[psp]

Salut,
Comme est continue sur l'intervalle fermé elle y atteint son max en un certain point .
Tu n'as aucun mal à montrer que le terme de gauche est inférieur ou égal à celui de droite.
Aprés, pour "l'autre sense, la seule idée qui me vient, c'est "à la main", c'est à dire en utilisant la définition de la continuité.
On fixe . il existe des réels fixée, tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.

J'essaie de compléter ton inégalité :



En mettant à la puissance et en passant a l'infini, j'obtiens
Puis-je faire tendre vers 0 ?

[Ben314]

J'essaie de compléter ton inégalité :



En mettant à la puissance et en passant a l'infini, j'obtiens
Puis-je faire tendre vers 0 ?

Oui, c'est bien ça.

[jlb]

Et si n tend vers 0 par valeurs différentes?? [avec f continue sur [0,1] à valeurs strictement positives]

allez hop au boulot :we:

[psp]

Comment faire tendre vers 0 un élément de ?

J'ai une question.

D'après le lemme d'Abel, si il existe tel que soit bornée, ALORS pour tout tel que la série est absolument convergente.

Or on dit aussi que le rayon de convergence R est le sup des Donc par le lemme d'Abel, pour tout tel que la série est absolument convergente.

Or d'après le cours il faut une inégalité stricte : dans le cas de l'égalité c'est au cas par cas.

Je sais que je chipote mais ça me tracasse :marteau:

Pouvez vous m'apporter des éclaircissements ?
Merci d'avance

[jlb]

Et si n tend vers 0 par valeurs différentes?? [avec f continue sur [0,1] à valeurs strictement positives]

allez hop au boulot :we:

bien sur!! pour n réel tendant vers 0, que se passe-t-il?

sinon dans le lemme d'Abel c'est pour tout z complexe tq |z|<|z0|

[psp]

Ah non dans mon cas je te dirai pour si je trouve

Merci pour la précision sur le lemme d'Abel )

[Ben314]

En plus de l'erreur dans l'énoncé du lemme d'Abel, il faut faire attention là ;

...le rayon de convergence R est le sup des ...

un "sup" n'est pas forcément atteint donc il n'existe pas forcément de de module R tel que la suite des soit bornée.

[psp]

Concernant l'erreur initiale je suis allé chercher l'énoncé sur http://www.les-mathematiques.net/a/a/n/node3.php

un "sup" n'est pas forcément atteint donc il n'existe pas forcément de de module R tel que la suite des soit bornée.

Je ne sais pas je pense qu'au moins borne la suite

edit : Excuses moi je crois comprendre ce que tu veux dire, tu parles du cas où R = oui oui je suis d'accord, mais quand j'utilise le lemme d'abel c'est plus pour encadrer une valeur de R que je pense finie

Quand je sens que R est infinie je pose le critère d'Alembert et je trouve normalement un domaine de convergence = et je conclus sur R infini

[Ben314]

Ce que je voulais dire ne concerne pas forcément l'infini.

Si tu prend une suite de complexe donnés et que considère l'ensemble des complexes tels que la suite soit bornée, tu montre facilement qu'il existe un réel R positif ou nul (voire infini) tel que l'ensemble D contienne le disque ouvert de centre 0 de rayon R et soit contenu dans le disque fermé de centre 0 de rayon R.
On peut évidement présenter R comme étant le sup des pour z dans D.
Ce que je te racontait, c'est que, dans le cas où R est fini, si on regarde ce qu'il se passe pour les cas "limite" où z est de module exactement égal à R, ben à peu prés tout les cas de figures sont envisageables :
- Il se peut que la suite soit bornée pour tout z de module R et même que la série soit convergente pour tout les z de module R.
- Il est possible que suite soit bornée pour tout z de module R mais que la série ne soit convergente pour certains (voire aucun) z de module R.
- Il est possible que suite soit non bornée pour tout z de module R (et donc évidement la série est non convergente)