Série d'intégrales

par **Mike_51** » 25 Mar 2006, 13:05

Bonjour.
Comment faire pour montrer que :
intégrale sur R*+ de Arctant/(exp(Pi*t)-1) dt = Somme de k=1 à +oo de l'intégrale sur R*+ de exp(-k*Pi*t)Arctant dt.

par **quinto** » 25 Mar 2006, 13:23

Mike_51 a écrit:Bonjour.
Comment faire pour montrer que :
intégrale sur R*+ de Arctant/(exp(Pi*t)-1) dt = Somme de k=1 à +oo de l'intégrale sur R*+ de exp(-k*Pi*t)Arctant dt.

Bonjour,
c'est une conséquence directe du développement en série de 1/(x-1), mais ne manque t'il pas un facteur?

par **Mike_51** » 25 Mar 2006, 16:21

Il ne manque rien. On voi bien que la série des exponentielle est une série géométrique, celà pouve la convergence simple. Mais il reste des choses a montrer pour pouvoir inverser Somme et intégrale que je n'arrive pas a faire.

par **quinto** » 25 Mar 2006, 17:41

Mike_51 a écrit:Il ne manque rien. On voi bien que la série des exponentielle est une série géométrique, celà pouve la convergence simple. Mais il reste des choses a montrer pour pouvoir inverser Somme et intégrale que je n'arrive pas a faire.

J'avais pourtant regardé, mais je n'avais pas vu que tu avais interverti somme et intégrale.
Ici c'est une conséquence directe du théorème de Tonelli, ou de la convergence monotone, et même probablement de la convergence dominée puisque tout est positif et inférieur à Pi/2(e^(pi*t)-1)
Sauf erreur(s)
A toi de choisir.

par **Mike_51** » 25 Mar 2006, 17:51

J'ai opté pour ce théorème:
. (Uk) converge simplement vers f
. les Uk sont intégrables
. La somme des intégrales des |Uk(t)| converge,
=> Donc intégrale de f = Somme des intégrales des Uk(t)
mais c'est le 3ième point que je n'arrive pas à montrer.

par **abcd22** » 25 Mar 2006, 19:37

Applique plutôt le théorème de convergence monotone, il n'y a pas de problème pour l'appliquer.

par **Mike_51** » 25 Mar 2006, 20:10

Connais pas. Le seul autre que je connais nécessite d'intégrer sur un intervalle borné et de montrer la convergence uniforme donc ca doit pas etre celui-la.

par **abcd22** » 25 Mar 2006, 20:37

Vous avez le théorème de convergence dominée au programme, non (en tout cas il est dans les programmes de MP et PC, mais ils ont viré la convergence monotone, effectivement) ? avec celui-là ça doit marcher aussi en l'appliquant aux sommes partielles.

par **quinto** » 27 Mar 2006, 21:47

Le théorème de la convergence monotone est beaucoup plus simple que la convergence dominée, j'ai du mal à croire qu'on l'ai supprimé du programme, et à comprendre pourquoi si tel est le cas.

Le fait que ta série soit dominée n'est pas difficile à voir:

Et arctan est bornée sur R.

par **quinto** » 27 Mar 2006, 21:50

Le théorème de la convergence monotone est beaucoup plus simple que la convergence dominée, j'ai du mal à croire qu'on l'ai supprimé du programme, et à comprendre pourquoi si tel est le cas.

Qu'as tu du mal à faire pour la somme des intégrales?

par **abcd22** » 27 Mar 2006, 22:48

C'est certainement parce que dans beaucoup de situations où on peut appliquer la convergence monotone on peut aussi appliquer la convergence dominée... Au programme il y a le théorème d'inversion globale mais pas celui d'inversion locale (mais ça c'était déjà dans les anciens programmes), ce qui est aussi logique que convergence dominée et pas monotone...

par **quinto** » 27 Mar 2006, 23:37

abcd22 a écrit:ce qui est aussi logique que convergence dominée et pas monotone...

Oui c'est idiot.
A noter que dans les hypothèses de la cvd on a besoin que g (la fonction qui domine) soit L1, ce qui est tout de même très fort.
Dans les hypothèse de la convergence monotone, on a uniquement besoin que l'intégrale existe, auquel cas le théorème permet également de montrer que l'intégrale est infinie, ce qui peut être intéressant dans certains cas.
Mais le théorème de la convergence monotone permet de donner naissance à un théorème fort intéressant, le lemme de Fatou-Lebesgue ...

Série d'intégrales

Série d'intégrales

Qui est en ligne