Série de fonctions

[MacManus]

Bonjour

Voila je ne regarde pas trop de séries en général, mais celle-ci est à l'air amusante :

pour |x| > 1

J'essaye de me remémorer certaines notions de convergence, mais si vous pouviez m'aider, je comprendrais certainement mieux !

1. Cette série est-elle absolument convergente ?
2. Calculer la somme de 2 termes consécutifs de cette série.
3. Montrer que cette série est régulièrement alternée pour |x|>2.
4. Montrer qu'elle converge uniformément sur U
5. En regroupant les termes 2 par 2, montrer la convergence simple puis uniforme sur U

1.Non

2. ok

3. ok

4. Je peux montrer que pour|x|>2 ??

5.Je n'ai pas d'idées...

Merci beaucoup pour votre aide!

[Aspx]

1. Le raisonnement que tu fais est faux. Majorer le terme général par le terme général d'une série divergente n'apporte aucune conclusion (ce qui serait intéressant serait de le minorer par un terme divergent).
Ce qu'il faut dire c'est

terme général d'une série qui diverge donc (théorème de transmission) la suite étudiée n'est pas absolument convergente.

[ThSQ]

1. Pour |x|>1 ..et la série harmonique diverge. Donc la série ne converge pas absolument. On peut dire ça ?

Tu peux le dire mais ça prouve rien. Tu as 1/n² < 1 et 1 diverge donc sum 1/n² diverge ?


Edit : grilled

[ThSQ]

1. Le raisonnement que tu fais est faux. Majorer le terme général par le terme général d'une série divergente n'apporte aucune conclusion (ce qui serait intéressant serait de le minorer par un terme divergent).
Ce qu'il faut dire c'est

terme général d'une série qui diverge donc (théorème de transmission) la suite étudiée n'est pas absolument convergente.

Ah ? |(-1)^n/n| ~1/n donc \sum (-1)^n/n diverge ??

[MacManus]

Oui je reconnais ma bêtise sur ce point. Biensûr cela n'a aucun intérêt...je ne m'en suis même pas rendu compte. Je suis d'accord pour l'équivalence.

et non somme de (1/n²) converge en plus (bon exemple)

[Joker62]

Pour la 2), on te demande la somme de deux termes consécutif...
En posant u_n le terme général, il suffit de calculer u_n + u_(n+1)

D'ailleurs si on fait ça, c'est pas pour rien vu la fin de l'exercice...

[MacManus]

en fait c'est ce que j'ai fait mais avec l'équivalence du terme général de la série en question (1/nx). Je pense que ce n'est pas correct puisque cela n'a rien à voir avec le temre général de la série initiale... mais j'ai déja commencer à calculer et je n'aboutis pas vraiment...je vais revoir ça. merci

[MacManus]

Pour la question 2)

pour |x| > 1

la somme de 2 termes consécutifs donne :

+ =

Est-ce correct ?

[alavacommejetepousse]

bonjour
on a deux cas simples ou la sommation par paquets est licite

(ne change pas la nature de la série)
- série à termes positifs

- taille des paquets bornée et terme général tendant vers 0

on est dans le deuxième cas ici

[MacManus]

Bonjour

Ok chaque paquet est borné par un terme général tendant vers 0.
le terme à droite de l'égalité est borné par le terme général d'une série convergente....donc la série obtenue après sommation par paquets est absolument convergente donc convergente...??

question 3)

en fait la série n'est pas régulièrement alternée si l'on fixe x égal à 1 par exemple, car on aurait la suite qui n'est pas régulièrement alternée. En revanche elle est régulièrement alternée selon que n est pair ou impair pour |x|>2.

quelq'un a-t-il des idées pour les questions 4) et 5) ??

merci!

[MacManus]

Salut tout le monde !

Je reviens sur ma série de fonctions car certaines choses restent un peu obscures pour le moment.

pour |x| > 1

J'aimerais montrer que cette série converge uniformément sur U .
Dans mon 1er post, j'ai proposé qqchose (question 4) à ce propos mais je ne sais pas si c'est correct...

merci d'avance pour celles ou ceux qui ont le temps de m'aider !

[Mohamed]

salut

tu peux vérifier que ta série vérifie le critère spécial des séries alternées pour /x/>2...ca permet de monter que le reste CVU vers 0

[MacManus]

salut et merci pour ta réponse

Je suis d'accord avec toi...on peut exprimer le fait que le reste CVU vers 0 par :
pour|x|>2

mais comment expliciter ce reste (le calculer) ?? il suffit juste de dire que
??

[Mohamed]

t'as pas besoin de calculer le reste, le critère spécial donne l'inégalité :
si Rn est le reste, on a /Rn(x)/<= /Un+1/ , il suffit donc de majorer Un+1 indépendemment de x....

[MacManus]

Oui tu as raison il suffit de montrer que cette majoration tends vers 0 ensuite.
Merci Mohamed !