Série de fonctions...

[Narhm]

Bonjour à tous, voilà j'ai un exercice plutot basic sur une série de fonctions mais je ne suis pas sur du tout de moi, c'est assez frais.

Soit la fonction de .
Je dois donc étudier la définition et la continuité de S.

Pour la définition, il s'agit de trouver l'ensemble des qui vérifie que S(x) converge. Or je trouve que S(x) converge pour tout x réel.

Ensuite pour la continuité de S, je pensais au théoreme de la continuité qui dit que si la suite des est continue pour tout n sur R, et que CVU sur R alors S est continue sur R.

Merci pour votre aide.

[kazeriahm]

salut

pour la définition, comme tu l'as fait c'est bien :

on cherche à montrer la convergence simple de S sur R c'est à dire que pour tout x réel, S(x) converge.

Pour la continuité, il faut montrer la convergence uniforme.

Montre que S converge normalement sur tout segment [a,b] de R ce qui impliquera la convergence uniforme sur tout segment [a,b] de R, en remarquant que |sin(y)|=<|y|, pour tout y réel.

[Narhm]

Bonjour kazeriahm,
J'ai donc poursuivi suite à ton aide et j'en tire :
On a que la suite converge donc elle est bornée à partir d'un certain rang. Ensuite on peut majorer de telle sorte : Soit a un réel positif, pour tout x dans [-a,a], ou converge.
Au quel cas on peut en conclure que sur tout segment de [-a,a], converge normalement.
D'ou S est continue sur [-a,a], mais peut-on dire que S est continue sur R ?

[Lierre Aeripz]

Puisque la continuité est une notion uniquement locale, être continu sur tout segment centré est zéro est équivalent à être continu sur R. Si tu n'est pas convaincu, il te suffit de l'écrire pour le voir.

[Narhm]

D'accord, c'est bon, je pense avoir saisi,
Je vous remercie pour mon probleme.

Au revoir !