Série de fonction

[Narhm]

Bonjour, j'ai un probleme sur un exercice, si vous pouviez m'indiquer quelques choses ?
.
On nomme S(x) =
Je dois étudier de la continuité de S sur l'ensemble de Définition de S , Ds( soit si je ne me suis pas trompé. )
Je trouve que ne converge pas uniformement. On a que est continue sur Ds, il ne resterait donc qu'a prouver que S(x) Converge uniformement sur R+ ou pas pour pouvoir discuter de la continuité de S. Et je n'arrive pas à montrer l'un ou l'autre.
Quelqu'un a-t-il une idée ?

[klevia]

Salut,
si je ne me suis pas trompée, une étude de Un(x) montre que le sup est atteint x=1/n
et Un(1/n)=1/e.n.ln(n) et la série de terme général 1/e.n.ln n CV (série de bertrand)
d'ou il semblerait qu'il y ait CVU sur [0,+oo[ d'ou continuité car les Un sont continues ...

j'espère ne pas m'être trompée ...

[Narhm]

Oui on tombe bien sur une série de bertrand, mais la série de Bertrand est :
.
Celle ci converge uniquement si

[klevia]

Aîe , une lacune dans ma culture ...pour je croyais que cela convergeait pour dsl ...

Bon, ben c'est pas grave: SOit a>0 on a convergence uniforme sur [a,+oo[ d'où continuité sur ]0,+oo[ mais il ne me semble pas qu'il y ait continuité sur [0,+oo[

[Narhm]

Hum..
Je ne saisis pas, si tu prends un a>0, si a < 1/n, le sup de u_n sera u_n(a), or la série des u_n(a) CV (preuve avec une relation de comparaison), mais si tu prends un a > 1/n, le sup de u_n sera toujours u_n(1/n) et on a dit , d'apres la série de bertrand que ca ne menait à rien.
D'ou, pour moi , au mieux on a montré que sur [0,a[, a<1/n , la série des u_n converge normalement mais rien pour le reste de l'intervale.
Non ?

[Narhm]

Ne devrait-on pas démontrer une convergence uniforme sur Ds ?

[klevia]

Soit a>0, montrons que la somme est continue en a
il existe N tel que 1/NN
Un decoissante sur [a,+oo[ d'ou le sup atteint pour x=a
et
la série de terme général Un(a) CV
donc il y a CVN sur [a,+oo[ d'ou CVU sur [a,+oo[ d'ou continuité en a...
Ainsi la somme est continue sur [a,+oo[ pour tout a>0 d'ou continue sur ]0,+oo[

ATTENTION: il n'y a pas CVU sur ]0,+oo[

[Narhm]

Ha ! Je te remercie , je pense avoir saisi la démarche.
Je te remercie beaucoup klevia pour ton aide !

Au revoir et merci.