Série et condensation

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un petit exo sur les séries qui utilisent la condensation, mais je suis bloqué depuis un moment :

--
Soit une suite de réels positifs décroissante et telle que la série de terme général diverge.

Je dois montrer que la série de terme général diverge


--


Bon il est assez rapide de montrer que est positive et décroissante, mais je n'arrive pas à montrer que la série de terme général diverge.

Il me reste à montrer ça. Mais je n'arrive pas à minorer par le terme d'une série divergente


Si quelqu'un peut m'aider svp
Je vous remercie d'avance pour vos réponses


EDIT : je pense que j'ai trouvé quelque chose, mais pas sûr à 100%

Si on suppose que la série de terme général converge, alors la suite de terme général tend vers 0

alors par définition de la limité, il existe un entier tel que pour tout n>N, on a




mais cela est absurde car alors la série de terme général convergerait ce qui est faux d'après la propriété de condensation,

donc la série de terme général diverge [tex]2^nv_{2^n}/tex]

[deltab]

Bonsoir.

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un petit exo sur les séries qui utilisent la condensation, mais je suis bloqué depuis un moment :

--
Soit une suite de réels positifs décroissante et telle que la série de terme général diverge.

Je dois montrer que la série de terme général diverge


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Bon il est assez rapide de montrer que est positive et décroissante, mais je n'arrive pas à montrer que la série de terme général diverge.

Il me reste à montrer ça. Mais je n'arrive pas à minorer par le terme d'une série divergente


Si quelqu'un peut m'aider svp
Je vous remercie d'avance pour vos réponses


EDIT : je pense que j'ai trouvé quelque chose, mais pas sûr à 100%

Si on suppose que la série de terme général converge, alors la suite de terme général tend vers 0

alors par définition de la limité, il existe un entier tel que pour tout n>N, on a




mais cela est absurde car alors la série de terme général convergerait ce qui est faux d'après la propriété de condensation,

donc la série de terme général diverge

Si tu prend , as-tu
L'hypothèse sur la série est la divergence. Même l'hypothèse décroissante ne permet de dire que tend vers 0, mais seulement converge vers une limite l >=0

[jonses]

Ce que j'ai proposé c'est une démo par l'absurde que j'avoue être un peu bancal:

Si on suppose que la série de terme général converge , alors la suite tend vers 0

puis j'ai écrit la définition de la limite pour "epsilon=1/2" ce qui fait qu'à partir d'un certain rang est strictement inférieur à 1/2, et étant positive, elle ne peut pas être égale à 1 (car inférieur à 1/2) du coup à partir d'un certain rang, elle est égale à

[deltab]

Ce que j'ai proposé c'est une démo par l'absurde que j'avoue être un peu bancal:

Si on suppose que la série de terme général converge , alors la suite tend vers 0

puis j'ai écrit la définition de la limite pour "epsilon=1/2" ce qui fait qu'à partir d'un certain rang est strictement inférieur à 1/2, et étant positive, elle ne peut pas être égale à 1 (car inférieur à 1/2) du coup à partir d'un certain rang, elle est égale à

Le principe de condensation nécessite que soit décroissante et tende vers 0. Il faut montrer que tend vers 0 pour avoir la contradiction Il suffit pour ça que soit une hypothèse et il suffit alors diverge (et ceci ne pose aucun problème).

[jonses]

Je ne comprends pas pourquoi doit tendre vers 0 pour le principe de condensation

Ce que j'ai vu en cours c'est : si est une suite réel positive et décroissante (mais pas forcément convergente vers 0), alors la série de terme général et la série de terme général ont même nature

Il n'y a pas de "tendre vers 0" dans ce que j'ai vu

[deltab]

Bonjour.

Je ne comprends pas pourquoi doit tendre vers 0 pour le principe de condensation

Ce que j'ai vu en cours c'est : si est une suite réel positive et décroissante (mais pas forcément convergente vers 0), alors la série de terme général et la série de terme général ont même nature

Il n'y a pas de "tendre vers 0" dans ce que j'ai vu

Désolé, je confondais principe de condensation et regroupements de termes

[Ben314]

Salut,

...mais je n'arrive pas à montrer que la série de terme général diverge.

Soit il existe une infinité d'entiers tels que et donc la série de terme général est "grossièrement" divergente (son terme général ne tend pas vers 0)
Soit il n'y a qu'un nombre fini de tels donc il existe un tel que, pour tout on ait ce qui prouve que la série de terme général est de même nature que celle de terme général , c'est à dire divergente.

[jonses]

J'avais pas pensé à ça... c'est clair et plus simple par rapport à mon raisonnement douteux


Merci en tout cas !