Série "alternée"

[aviateur]

Bonjour
J'ai vu sur internet cette question difficile dont je n'ai pas trouvé la solution. Sur certain site la solution proposée ne pas m'a pas convaincu. La question concerne la série de TG



Est-elle convergente?

[Kolis]

Bonjour !
Quand tu parles d'autre site, as-tu consulté celui-ci : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1472074,1474978#msg-1474978 ?
Si oui, quel est exactement le point qui te fait dire : "pas convaincu" ?

[aviateur]

Bonjour @Kolis merci pour ta réponse

Non cette solution je ne l'ai pas vue. Je regarde demain et je te donne mon avis.

[aviateur]

Bonjour @Kolis. J'ai regardé la démonstration. De même, je ne comprends les arguments de la fin de la démonstration.

En effet . Il est démontré que à p fixé est convergente et de plus que le reste d'ordre m que je note vérifie l'estimation uniforme
avec

Je cite maintenant la conclusion
"Il en résulte la convergence uniforme par rapport à p de la série ce qui implique la permutation des sommations et la convergence de la série "

Là je ne vois pas pourquoi on a cela.

[zygomatique]

salut

intellectuellement il n'y a que deux cas :

soit cette affirmation est vraie et découle d'un théorème (probablement Fubini) et il a raison

voir par exemple : http://mp.cpgedupuydelome.fr/cours.php? ... rtie=76907

ou encore : http://gilles.dubois10.free.fr/analyse_ ... ouble.html

soit cette affirmation est fausse ... et il a tord !!


mais tu ne peux que l'accepter ou montrer que'elle est fausse ... ou alors montrer qu'elle est vraie ...

[aviateur]

Bonjour
@Zygomatique tu as raison. Donc avec ton raisonnement, tu acceptes ce que je dis (je dis simplement que je ne suis pas convaincu) ou alors tu me donnes de façon explicite la propriété utilisée.

[Arbre]

Salut,

@Zygomatique : tu as oublié au moins un cas, soit tous les 2 ont raisons (ou tord) et donc l'Arithmétique de Peano est contradictoire, en toutes logiques.

Cordialement.

[zygomatique]

Salut,

@Zygomatique : tu as oublié au moins un cas, soit tous les 2 ont raisons (ou tord) et donc l'Arithmétique de Peano est contradictoire, en toutes logiques.

Cordialement.

n'importe quoi ...

Bonjour
@Zygomatique tu as raison. Donc avec ton raisonnement, tu acceptes ce que je dis (je dis simplement que je ne suis pas convaincu) ou alors tu me donnes de façon explicite la propriété utilisée.

c'est évident d'après le deuxième encadré vert du deuxième lien puisque :

[Kolis]

Bonjour, détaillons ce que je crois avoir compris du texte de @rakam.
Soit, la suite de fonctions définies sur par .
Par la première relation on a .

On essaie alors de prouver que la suite converge uniformément (par rapport à ) .

Puisque est complet, on pourra en déduire que la suite des limites converge aussi : classiquement, pour (indépendant de ) et on a .
Par limite sur il vient ce qui implique la convergence de la suite de Cauchy .
.......................................................................
Ce qu'il fait :
Pour fixé il obtient la majoration d'où .

Ensuite, en admettant l'existence de la constante de Liouville-Roth, il montre que ce qui permet :
de prouver la convergence de la série de somme majorée par
puis la convergence uniforme de la suite
.............................................
Je n'ai pas compris pourquoi il invoque la permutation des limites, ce qui ne servirait que pour dire

[Arbre]

n'importe quoi ...

Ok, selon toi on aurait prouvé la non contradiction de AP.

Je rappelle que toute théorie (logique) permettant de faire des calculs, peut rendre compte de AP.

edit : mon explication n'est pas bonne

[aviateur]

Merci @ Kolis maintenant je suis d'accord. Tu as complété la démonstration.
A mon avis la partie que tu as rédigée manquait dans la démo de @rakam, c'est n'est tout de même pas une quantité négligeable.

Remarque: De tout cela on en déduit la convergence de la série de TG

[Kolis]

Je pense que @rakam s'est trompé : il a majoré le reste de en "oubliant" la somme sur .
Il voulait sans doute montrer la convergence uniforme pour permuter les limites...

[Lostounet]

Merci Kolis pour les explications (et aviateur pour la question intéressante).

J'ai jamais rencontré la constante de Liouville-Roth pour des majorations de ce style... Pourquoi vous écrivez "en admettant son existence" ?

[Kolis]

Bonjour !
Parce que, d'après ce que j'ai lu, la démonstration semble hors de ma portée...