Segment emboité

[mehdi-128]

Bonsoir,

Je suis dans la démonstration du théorème de Bolzano Weierstrass dans mon livre de MPSI. J'ai tout compris sauf la dernière ligne.

Soit une suite bornée, minorée par et majorée par .
On note
On construit par récurrence une suite de segments emboîtes qui contient une infinité de termes de la suite , La longueur de l'intervalle est : et elle tend vers 0.
D'après le théorème des segments emboîtés, l'intersection contient un unique point qu'on notera .
J'ajouterais même que d'après le cours :
Ensuite on construit par récurrence une application strictement croissante vérifiant .
Pour , les réels et appartiennent tous les 2 à et comme la longueur de tend vers on en déduit .

Je n'ai pas compris en quoi le fait que la longueur de tende vers 0 nous permet d'en déduire

[vam]

Bonjour
après une bonne nuit, je crois que tu verras !

[mehdi-128]

Vam vous avez raison

Notons la longueur de l'intervalle .

et alors

Or , d'après un théorème du cours :