Rotation dans R3

[MacErmite2]

Bonjour à tous,

Il s'agit de calculs matriciels avec des vecteurs. Je me souviens comment procéder pour calculer les nouvelles coordonnées d'un vecteur suite à une rotation autour d'un vecteur quelconque.

Le problème est que je me demande comment connaître les valeurs angulaires de cette rotation avec une combinaison de deux vecteurs connus. Comment calculer ces valeurs angulaires ?


Pouvez-vous m'aiguiller ?

Merci.

[Ben314]

Salut,
J'ai pas tout capté...
Tu connait deux vecteurs U et V de R^3 ainsi que leurs images U' et V' par une certaine rotation R inconnue et tu aimerais en déduire l'angle (et éventuellement l'axe) de la rotation R ?

C'est ça ou je suis complètement à coté de la plaque ?

[fatal_error]

salut ben

je pense que MacErmite2 veut à partir de deux vecteurs 3D, connaitre l'angle entre ces deux vecteurs.
si on nomme u et v ces deux vecteurs, et w = u vect v, ya une rotation de u à v d'axe w (en translatant au besoin v jusqu'à ce que la base de u et v soit la même), et MacErmite2 veut connaitre la valeur de cet angle.

j'aurais pour ma part tendance (moyennant que l'interpretation soit bonne) à simplement prendre le produit scalaire des normés puis acos vu que je vois pas trop comment définir l'orientation...

[MacErmite2]

Il y a l'image U' de U , qui est le résultat d'une rotation autour du vecteur D d'angle Theta.

Je cherche alors , compte tenu de l'image U' défini à présent, à exprimer les rotations autour du vecteur A d'angle Beta et le vecteur B d'angle Gamma.

U' est alors le résultat d'une rotation autour du vecteur A d'angle Beta , puis d'une rotation autour du vecteur B d'angle Gamma.

[Ben314]

Il y a l'image U' de U , qui est le résultat d'une rotation autour du vecteur D d'angle Theta.

Je cherche alors , compte tenu de l'image U' défini à présent, à exprimer les rotations autour du vecteur A d'angle Beta et le vecteur B d'angle Gamma.

U' est alors le résultat d'une rotation autour du vecteur A d'angle Beta , puis d'une rotation autour du vecteur B d'angle Gamma.

Bon, ben... je comprend rien...
Déjà et pour commencer, si tu connait deux vecteurs U et U' alors
- Soit ils ont pas la même norme et il n'existe pas de rotations R telles que R(U)=U'.
- Soit ils ont même normes et il y a une infinité de rotations R telles que R(U)=U' donc ils ne permettent pas de caractériser un axe (dirigé par D) ni un angle Theta.

Ensuite, je vois absolument pas le rapport entre cette première phrase et la suivante parlant de point A et B et d'angles alpha et gamma (donc rien en commun avec la première phrase)

Et c'est encore pire avec la dernière phrase et son "U' défini à présent" qui me semble complètement contraire à la première phrase où on considérait que U et U' étaient connu dés le début.

Te serait il possible de dire précisément :
- Quels sont les objets (vecteurs, angles, rotations,...) connus au départ ?
- Quels sont les objets (vecteurs, angles, rotations,...) qu'on cherche à déterminer ?
- Quels liens il doit y avoir entre les objets "connus" et ceux "à déterminer" ?

Enfin bref, d'écrire un truc compréhensible du style :
On se donne au départ . . . . . et on cherche à déterminer . . . . tels que . . . .

[MacErmite2]

Il y a l'image U' de U , qui est le résultat d'une rotation autour du vecteur D d'angle thêta.

Soit R1 la matrice de rotation d'angle thêta, autour du vecteur D et un vecteur U.
Soit l'opération suivante : U' = R1.U

Données d'entrée : R1, thêta, D et U.

Je cherche alors , compte tenu de l'image U' défini à présent, à exprimer les rotations autour du vecteur A d'angle bêta et le vecteur B d'angle Gamma

Soit deux vecteurs A et B. Je cherche à exprimer R2 et R3, avec R2 la matrice de rotation d'angle bêta, autour du vecteur A et R3 la matrice de rotation d'angle gamma, autour du vecteur B.

Données d'entrée : A, B.
Inconnues : R2, R3, bêta, gamma.

U' est alors le résultat d'une rotation autour du vecteur A d'angle bêta , puis d'une rotation autour du vecteur B d'angle Gamma.

U'' = R2.U puis U'=R3.U''

U'' est alors l'image de U par la rotation de U d'un angle bêta autour du vecteur A, puis rotation de U'' d'un angle gamma autour du vecteur B

Expressions de R1 et R2 ? (cela revient à rechercher les valeurs de bêta et gamma.)

En espérant avoir été plus claire.

[Ben314]

Si je comprend bien :
Au départ sont connus 4 vecteurs U , U' , A , B qu'on peut supposer unitaires :
- Concernant les axes de rotation autour de A et B, ça ne change rien de les supposer unitaire.
- Concernant U, comme les rotations sont des applications linéaires, de le rendre unitaire va uniquement diviser ces images par la norme de U, mais ne rien changer aux différentes contraintes.
- Concernant U', il sera unitaire comme image de U par la rotation d'axe D d'angle thêta et vu la suite de l'énoncé, la connaissance de D et de thêta (c'est à dire de R1) n'apporte rien de bien utile comme information : ça permet uniquement de calculer U'.

Tu cherche alors à déterminer des angles et (s'il en existe) tels que (où désigne la rotation d'axe d'angle )

Si c'est bien ça alors déjà, un simple point de vue géométrique permet de voir qu'il peut ne pas y avoir de solutions et que, lorsqu'il y en a, il y en a en général deux (et exceptionnellement une seule) :
Lorsque décrit le vecteur décrit un cercle de la sphère unité (c'est l'intersection de la sphère unité et du plan perpendiculaire à passant par ) puis, lorsque décrit le vecteur décrit l'ensemble des images de par les et on voit assez clairement ce qu'il se passe : seul une portion de la sphère délimitée par deux cercles parallèles (portés par des plans perpendiculaires à B) risque d'être décrite et tout les points strictement entre les deux cercles sont atteint deux fois.
Donc si U' n'est pas dans cette portion de sphère, il n'y aura pas de solution et si U' est dans cette portion mais pas au bord (i.e. pas sur un des deux cercles), il y aura deux solutions.

Concernant le calcul explicite des deux couples solutions du problème (lorsqu'ils existent) vu le point de vue géométrique (faire tourner un cercle suivant un axe quelconque) j'ai l'impression que ça va forcément être un peu compliqué.
Perso., j'attaquerais sans doute par du calcul bourrin consistant à utiliser la définition calculatoire d'une rotation d'axe unitaire et d'angle (*) :

où désigne le produit scalaire de et et où désigne le produit vectoriel de et .

Je peut éventuellement faire les calculs, mais vu la m... que ça va être, je préfèrerais être sûr avant que ça ça soit bien ça la problématique.

(*) Eventuellement, et si tu connait le concept, c'est plutôt plus simple à gérer en utilisant la formule calculatoire avec les quaternions.

[firefighter90]

- Comme tu connais deux vecteurs, le produit vectoriel te donnera le 3ème vecteur. Ainsi tu obtiens la base associée à ton objet qui bouge après avoir tout normalisé.

- Avec les coordonnées des vecteurs de la base créée tu remplie ta matrice de passage "appelée P" de la base fixe à la base qui bouge.

-Ensuite tu considère une convention de Rotation par exemple X (theta1),Y' (theta2),Z" (theta3). Ceci donne trois matrices dont le produit donne une matrice de passage P' de la base fixe à la base qui bouge.

-Comme t'as deux expressions de la même matrice de passage, il suffit d'identifier P et P' et trouver les trois angles.

[MacErmite2]

Merci pour ces conseils d'études. Je vais travailler dans ce sens.