Un résultat élémentaire inconnue ?

[un_homme]

Salut,

Les polies polynômes :

Pn=1+X^n+X^(n^2)+X^(n^3).
S=P1*P2*...*P100
S=a0+a1*X+...+ak*X^k

T=a0*0^3+a1*1^3+...+ak*k^3

Que vaut alors T ?

Il existe un résultat élémentaire permettant de résoudre ce problème est-il connu ?

(Pour ce qui veulent connaître ce résultat et pas se casser la tête sur ce problème, en blanc) :

Il suffit de connaître cette propriété et cela tombe tout seul :

P' mod Q^(n-1)=(P' mod Q^n) mod Q^(n-1) =(P mod Q^n)' mod Q^(n-1)

Et que T=(X(X(S)')')'(1).

Il suffit de calculer avec Q=(X-1) et n=4.

(J'ai eu beau cherché personne n'en parle, pourtant elle est élémentaire et peut d'être d'une grande utilité).

Merci.

[alphamethyste]

Pn=1+X^n+X^(n^2)+X^(n^3).
S=P1*P2*...*P100
S=a0+a1*X+...+ak*X^k

T=a0*0^3+a1*1^3+...+ak*k^3

salut (vite vu donc sauf erreur)

bon en faisant P_a.P_b=1+X^...+X^...

alors tous les coefficients ai sont l'unité


de sorte que T = 1+1^3+2^3+...k^3

faut determiner k (mais bon faut prendre un peu plus de temps là je vais vite je verrai ça tout à l'heure mais donc...)

pour la somme 1+1^3+2^3...+k^3 =

[un_homme]

Salut,

Non, les coefficients des monômes ne valent pas forcément 1.

Donc ton calcul risque de ne pas aboutir au bon résultat.

[Ben314]

Salut,
A priori, ça me dit rien en temps que "résultat connu", mais d'un autre coté, je suis pas sur de voir quel est le "résultat élémentaire" dont tu parle dans ta partie en blanc :
C'est la partie dérivation modulo Q^n ou la partie évaluation de X(X(XP')')' ?
La partie "évaluation", c'est un truc qu'on utilise fréquemment dans tout les domaines concernant les séries entières (résolution d'équa diff., série génératrices en proba. et dénombrement, et d'autres domaines...)
La partie "dérivée modulo Q^n", à priori je suis pas sûr d'avoir déjà utilisé un truc pareil quelque part, mais ça ne garanti absolument pas que ce ne soit pas un "procédé classique" dans un domaine donné des mathématiques.

[un_homme]

Salut,
La partie "dérivée modulo Q^n", à priori je suis pas sûr d'avoir déjà utilisé un truc pareil quelque part, mais ça ne garanti absolument pas que ce ne soit pas un "procédé classique" dans un domaine donné des mathématiques.

Salut,

Oui c'est cette partie.

Tu serais résoudre se problème autrement ?

[Ben314]

Salut,
Oui c'est cette partie.
Tu serais résoudre se problème autrement ?

J'ai l'impression, oui (à vérifier).
J'ai regardé le "blanc" pour essayer de comprendre quel était ton "résultat élémentaire", donc c'est facile de dire ça "après coup", mais il me semble que j'aurais immédiatement écrit que ton truc s'obtenait en appliquant 3 fois le l'endomorphisme P->XP' puis la fonction d'évaluation au point 1 vu que c'est relativement classique de passer de X^k à du k^d (d fixé).
Aprés, concernant la dérivation (triple), je pense que j'aurais clairement attaqué tel le bourrin en utilisant la formule de dérivée d'un produit (j'aurais peut-être réagit ensuite qu'il y avait plus subtil... ou peut-être pas...)
Je peut te mettre les "élucubration" que j'aurais faite dans le post "défi", si tu veut...

[un_homme]

Oui, je veux bien merci.

[un_homme]

Et aussi, je connais une autre façon de résoudre ce problème qui repose elle aussi sur une astuce.
J'aimerais savoir si elle est simple à trouver.

[paquito]

C'est quoi cette façon de prendre les gens pour des débiles avec une prétention insupportable!
En plus, ton truc n'a aucun intérêt! Moi aussi je peux pondre des problèmes à la mords moi le noeud sauf que je peux proposer une solution propre;exemple:

Pour tout on définit et ;

Démontre que Pour tout et sont premiers entre eux 2 à 2.

[un_homme]

Où, ai je donc été prétentieux ?
J'ai bien parler d'un résultat élémentaire (c'est à dire ne faisant appelle à aucune théorie élaboré).

Et si tu trouves que cela est le cas, montres le : en n'y participant pas.

[un_homme]

Sinon pour ton problème il suffit de remarquer que les polynômes (en n) sont premiers entre eux, dans l'anneau des polynômes entiers, par Bezout on a alors le résultat que tu attends.