Reste et division euclidienne

[Hoog]

Quel est le reste dans la division par 7 du nombre
999888777666555444333222111 ?
_________

Je pense bien à une décomposition avec 111 et 10^3, mais à part ça...
Merci à ceux qui pourront m'aider.

[alben]

Je pense bien à une décomposition avec 111 et 10^3, mais à part ça...

Bonjour,
exact et comme les restes par 7 de la division de 111 et de 1000 sont tous deux égaux à -1, il ne reste plus grand chose à calculer

[BQss]

Quel est le reste dans la division par 7 du nombre
999888777666555444333222111 ?
_________

Je pense bien à une décomposition avec 111 et 10^3, mais à part ça...
Merci à ceux qui pourront m'aider.

111* (1*10^3 + 2*10^6 + 3*10^9 + 4*10^12 + 5*10^15 + 6*10^18 + 7*10^21 + 8*10^24 + 9*10^27)

111 congru a 6 (7)

10^3 congru a 6 (7)
--> en elevant au carré: 10^6 congru à 36 (7) = 1 (7)
donc (10^6)^k=(10^3)^2k= 1 (7)
et (10^3)^(2k+1)= (10^6)^k * 10 ^3 = 1 * 6 = 6 (7)
donc on a:

111* (1*10^3 + 2*10^6 + 3*10^9 + 4*10^12 + 5*10^15 + 6*10^18 + 7*10^21 + 8*10^24 + 9*10^27 ) = 6 * ( 6 + 2 + 3*6 + 4 + 5*6 + 6 + 0 + 8 + 2*6) = 6 * 86 (7) = 6 * 2 (7) = 12 (7) = 5 (7)

donc le reste vaut 5

[alben]

111* (1*10^3 + 2*10^6 + 3*10^9 + 4*10^12 + 5*10^15 + 6*10^18 + 7*10^21 + 8*10^3 )
donc le reste vaut 2

Ce n'est pas le nombre de départ mais ça marche :we:

N=-1(1-2+3-4+5-6+7-8+9)=-5 =2 modulo (7)
ps : tu as modifié ton post, maintenant c'est faux (ton nbre est x par 1000), ce qui inverse le signe du reste

[BQss]

Ce n'est pas le nombre de départ mais ça marche :we:

N=-1(1-2+3-4+5-6+7-8+9)=-5 =2 modulo (7)

non c'est 5 (7) le reste vaut en fait 5 j'ai corrigé.

C'est encore plus rapide en posant 10^(2k+1)= -1 (7) au lieu de 6 c'est vrai en tout cas:

à la fin au lieu de -4+9=5 t'as rajouté un moins, ca doit etre pour tomber sur mon ancien reste de 2 lol, par esprit de groupe .

[alben]

Désolé BQss c'est bien 2 tu as travaillé sur un nombre mille fois trop grand

[BQss]

Ce n'est pas le nombre de départ mais ça marche :we:

N=-1(1-2+3-4+5-6+7-8+9)=-5 =2 modulo (7)
ps : tu as modifié ton post, maintenant c'est faux (ton nbre est x par 1000), ce qui inverse le signe du reste

non revoit ton nombre c'est ton reste qui est faux, oui j'ai modifié mon poste vu qu'en copie collant j'ai oublié les deux dernier terme de la somme. C'est pour ca que tu voyais un 8*10^3 que j'ai pas changé en puissance 23 et que tu ne vois pas le 9*10^26.


Le reste vaut 5 pas 2 recompte mieux ta somme...

[BQss]

Désolé BQss c'est bien 2 tu as travaillé sur un nombre mille fois trop grand

Oui lol(en posant -1 au lieu de 6 comme toi ca va bcp plus vite) mais meme avec un nombre petit on peut faire des erreurs de calculs .

[alben]

Recompte les chiffres du nombre de départ, c'est 111x10^0 et non 111x10^1

[BQss]

Recompte les chiffres du nombre de départ, c'est 111x10^0 et non 111x10^1

oula oui excuse moi.

[BQss]

donc bon :

111* (1 + 2*10^3 + 3*10^6 + 4*10^9 + 5*10^12 + 6*10^15 + 7*10^18 + 8*10^21 + 9*10^24 ) = 6 * (1+ 12 + 3 + 24 + 5 + 36 + 0 + 48 + 9) = 6 * (1+5+3+3+5+1+6+2) (7) = 6*26 (7) = 6*5 =30 = 2 (7)


voila lol enfin c'est plus rapide encore une fois si comme toi au lieu de remplacer par 6 on remplace par -1...
Et oui ca evite de s'embrouiller dans les chiffres :D...

[alben]

Oui, je suis tombé malade en primaire quand on a abordé les multiplications avec des nombres >2 :zen:

[BQss]

Oui, je suis tombé malade en primaire quand on a abordé les multiplications avec des nombres >2 :zen:

J'aurais du attraper la meme maladie, j'aurais trouvé juste du premier coup .