[Résolu] Résoudre une triangulation

[younoboa]

Bonjour,

Voici mon problème
on a les coordonnées de 3 points et leur distance par apport à un 4iemme point

• point1: x1 y1 z1, distance par apport au point 4: R1
• point2: x2 y2 z2, distance par apport au point 4: R2
• point3: x3 y3 z3, distance par apport au point 4: R3

et on cherche les coordonnées X Y Z du point 4

Voici là où j'en suis de la résolution
du coup je pense qu'il faut faire le système d'équations suivant:

• (x-x1)² + (y-y1)² + (z-z1)² = R1²
• (x-x2)² + (y-y2)² + (z-z2)² = R2²
• (x-x3)² + (y-y3)² + (z-z3)² = R3²

qui en isolant les x, y et z donne

• x = (V(R1² - (z-z1)² - (y-y1)²) + x1)
• y = (V(R2² - (x-x2)² - (z-z2)²) + y2)
• z = (V(R3² - (x-x3)² - (y-y3)²) + z3)

Si je veux résoudre z par exemple j'injecte x dans y
avant injection: y = (V(R2² - (x-x2)² - (z-z2)²) + y2)
après injection: y = (V(R2² - ((V(R1² - (z-z1)² - (y-y1)²) + x1)-x2)² - (z-z2)²) + y2)

mais avant d'injecter Y dans Z il faut d'abord que j'isole le Y et je n'y arrive pas

Voici ma question
Sauriez vous comment isoler le Y dans cette équation?
y = (V(R2² - ((V(R1² - (z-z1)² - (y-y1)²) + x1)-x2)² - (z-z2)²) + y2)

si il y a un moyen plus simple de résoudre mon problème je suis aussi preneur

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Tu as tes trois équations de départ, qui contiennent toutes les trois .
Tu soustrais la 1e équation des 2e et 3e, ça fait disparaître les et tu te retrouves avec deux équations linéaires en ; tu résous le système avec par exemple comme variable libre, et tu obtiens et comme fonctions affines de . Tu portes ça dans la 1e équation, ça te donne une équation du deuxième degré en , avec deux solutions réelles (s'il n'y a pas d'accident). Tu utilises ensuite ces solutions en pour trouver les et correspondants avec les formules données par la résolution du système linéaire. Tu as deux points possibles, comme il se doit (symétrie par rapport au plan contenant les trois points donnés).

[younoboa]

bon j'ai vraiment essayé pendant des heures je suis allé voir des tuto pour les notions que tu évoques dans ton commentaire mais je suis toujours bloqué de la même manière. même mes potes qui s'y connaissent mieux en maths que moi y arrivent pas. Est-ce que tu peux envoyer le détail des calculs que tu décris dans ta solution un peux comme j'ai fait pour ma question stp?

Si tu en arrive aux équations AX² + BX + C = 0 où seul x est l'inconnu je devrais m'en sortir, je pense avoir compris comment résoudre les équations du second degré, le problème c'est que j'arrive pas à attendre la forme voulue

[GaBuZoMeu]

Tu postes en supérieur. Je n'emploie que des notions que tu devrais pouvoir maîtriser.

Prends un exemple et montre moi les calculs que tu fais en suivant mes indications. Je verrai alors ce qui te pose problème..

[younoboa]

je poste en supérieur parce que je pense que c'est de ce niveau-là mais moi je ne suis pas de ce niveau du tout. Ce que je sais je l'ai appris sur le net en autodidacte et là je cherche une personne sachant vraiment résoudre mon problème concrètement j'ai besoin qu'on me montre juste une fois un exemple et j'aurais compris c'est comme ça que j'ai toujours appris ^^. ça irait plus vite si j'avais les calculs plutôt que tu me corriges à chaque fois :p surtout que ça ne demanderais surement que quelques lignes. je cherche une réponse par le calcul par juste des pistes mais je comprends si tu sais pas ^^
j'ai fini par trouver une solution mais qui je pense ne se traduit pas en mathématiques mais elle est lourde (10-20 secondes à trouver une réponse inférieure à 10m du résultat précis) en gros on imagine 3 centres de sphères qui ne bouge pas dont le rayon de chacun se balade, le sommet des 3 rayons forme un triangle dont je calcule la surface et je cherche à réduire cette surface si elle s'agrandit je sais que ça bouge pas dans la bonne direction. C'est une solution un peu barbare mais qui a le mérite de fonctionner

merci quand même

[Vassillia]

Bonjour,
C'est bel et bien un problème du supérieur car il faut résoudre un système mais c'est accessible à un lycéen avec des explications. Que ça aille plus vite si on fait ton exercice pour toi, je me doute bien mais ce n'est pas le but donc tu auras juste des pistes tant que tu n'as pas essayé, c'est à prendre ou à laisser.
Essayons déjà de faire la première étape

Tu as tes trois équations de départ, qui contiennent toutes les trois .
Tu soustrais la 1e équation des 2e et 3e, ça fait disparaître les et tu te retrouves avec deux équations linéaires en

Si tu ne vois pas apparaitre les ; et commence par développer les 3 équations initiales ensuite que veut dire soustraire les équations ?


devient

équivalent à
On remarque que la variable a disparu et c'est ce qui arrivera avec les carrés si tu suis l'indication

PS : ta solution n'est pas valable, tu ne peux pas faire varier le rayon de la sphère puisque R1,R2 et R3 sont fixés.

[catamat]

Bonjour

Juste un conseil...

La difficulté provient de l'abondance des paramètres.

Je vous conseillerais de changer souvent les notations (cela ne pose aucun problème dans un programme informatique puisque je comprends que c'est le but)

Donc après la première étape (obtention de deux équations linéaires en x, y et z) les écrire ainsi
Ax+By=Cz+D
A'x+B'y=C'z+D'

ou A, B , ... sont définis par rapport aux données initiales

On résout, on trouve
x=Sz+T
y=Uz+V
avec S,T etc ... définis par rapport aux données précédentes

On remplace dans la première équation

On a az²+bz+c=0, avec toujours a, b et c définis par rapport aux données précédentes

On trouve z (choisir la bonne solution)
on reporte dans x=Sz+T et y=Uz+V pour avoir x et y.

[younoboa]

Merci pour vos réponses malheureusement je pense pas avoir le niveau lycéen en maths car j'ai un cursus pro et je n'ai plus aucun souvenir de ce que j'y ai appris :p (ça remonte à trop loin pour moi) mais comme j'apprends beaucoup en autodidacte j'ai des notions éparpillées en maths et je sais jamais c'est de quel niveau ^^
grâce à ce problème j'aurais tout de même appris à faire des équations du second degré et la différence entre un système d'équation résolues par soustraction ou par substitution. Ce sont des notions très simples quand on lit les méthodes sur le net j'ai pas trop eu de mal à comprendre.
En fait là ou j'ai eu le plus de mal c'est d'arriver jusqu'à la forme du second degré pour appliquer la méthode indiquée sur le net pour calculer le delta.
Du coup après des pages de calculs voici la solution mais c'était laborieux, il y a sans doute un moyen beaucoup plus simple mais si on me donne pas la solution toute faite j'arriverais jamais à trouver ^^

Enfin bref voici la solution (sans doute pas la plus optimisée) si jamais ça intéresse quelqu'un qui passerait par là un jour.
J'ai enlevé toutes les étapes intermédiaires de calculs et donné directement les formules finales car sinon ça fait vraiment des pages entières de calculs
Avant propos
Les variables connu sont donc:

• point1: x1, y1, z1, distance par apport au point 4: d1
• point2: x2, y2, z2, distance par apport au point 4: d2
• point3: x3, y3, z3, distance par apport au point 4: d3

on cherche le point 4: x, y, z

Étape 1
Pour simplifier la notation je définis à l'avance les variables suivantes: (Attention les majuscules/minuscules compte)
x1=[A renseigner soit même]
x2=[A renseigner soit même]
x3=[A renseigner soit même]
y1=[A renseigner soit même]
y2=[A renseigner soit même]
y3=[A renseigner soit même]
z1=[A renseigner soit même]
z2=[A renseigner soit même]
z3=[A renseigner soit même]
d1=[A renseigner soit même]
d2=[A renseigner soit même]
d3=[A renseigner soit même]
A = x1² + y1² + z1² - d1²
B = x2² + y2² + z2² - d2²
C = x3² + y3² + z3² - d3²
a = 2 * (x1 - x2)
b = 2 * (y1 - y2)
c = 2 * (z1 - z2)
d = 2 * (x1 - x3)
g = 2 * (y1 - y3)
h = 2 * (z1 - z3)
j = a * g - b * d
k = a * h - c * d
m = d * (A - B) + a * (C - A)
n = a * j
p = c * j - b * k
q = j * (B - A) - b * m
x = (-p * z - q) / n
y = (-k * z - m) / j
D = p² / n² + k² / j² + 1
E = 2 * p * q / n² + 2 * x1 * p / n + 2 * k * m / j² + 2 * y1 * k / j - 2 * z1
F = q² / n² + m² / j² + 2 * x1 * q / n + 2 * y1 * m / j + A
[DELTA] = E² - 4 * D * F

Étape 2
SQRT(x) veut dire racine carré de x

• si [DELTA] < 0
  
  • il y a eu une erreur (j'ai remarqué que ça arrivait quand les 3 points sont sur le même plan car ça fait des divisions par 0) donc bien penser à prendre ces 3 points en forme de triangle et si possible pas à la même hauteur
• si [DELTA] = 0
  
  • S0
    
    • z = -1*(E/(2*D))
    • y = (-1*k*z-m)/j
    • x = (-1*p*z-q)/n
• si [DELTA] > 0
  
  • S1
    
    • z = (-1*E-SQRT([DELTA] ))/(2*D)
    • y =(-1*k*z-m)/j
    • x =(-1*p*z-q)/n
  • S2
    
    • z = (-1*E+SQRT([DELTA] ))/(2*D)
    • y = (-1*k*z-m)/j
    • x = (-1*p*z-q)/n

attention dans le cas où le delta est plus grand que 0 à bien mettre S1 et S2 dans des xyz différent

Étape 2
Mais là c'est dans mon cas perso à moi car mon but est de chercher un minerai sous terre.
Vu que y représente la hauteur chez moi il suffit dans le cas où [DELTA] > 0 de prendre entre S1 et S2 celui qui a le y le plus petit

Autre
Cette solution contrairement à celle que j'avais trouvée avant donne une réponse instantanée, du coup c'est parfait pour moi
Et j'ai aussi appris que ce n'était pas de la triangulation mais de la trilatération ce que je cherchais à faire

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Tu vois que tu y es arrivé. et le calcul (je n'ai pas vérifié dans le détail, tes notations sont rébarbatives) suit la voie classique que j'avais indiquée. Je continue de penser que c'est plus profitable pour toi que de recevoir des formules toutes faites.

Quelques remarques :

il y a eu une erreur (j'ai remarqué que ça arrivait quand les 3 points sont sur le même plan car ça fait des divisions par 0) donc bien penser à prendre ces 3 points en forme de triangle et si possible pas à la même hauteur

Tu veux dire qu'il y a des ennuis quand les trois points sont alignés ? Trois points sont toujours dans un même plan

Mais là c'est dans mon cas perso à moi car mon but est de chercher un minerai sous terre.
Vu que y représente la hauteur chez moi il suffit dans le cas où [DELTA] > 0 de prendre entre S1 et S2 celui qui a le y le plus petit

Dans ce cas, tu ferais mieux de résoudre le système de deux équations linéaires en tirant x et z en fonction de y. Tu pourras alors sélectionner directement le y qui te convient parmi les deux solutions de l'équation du second degré en y.

[younoboa]

Quelques remarques :

il y a eu une erreur (j'ai remarqué que ça arrivait quand les 3 points sont sur le même plan car ça fait des divisions par 0) donc bien penser à prendre ces 3 points en forme de triangle et si possible pas à la même hauteur

Tu veux dire qu'il y a des ennuis quand les trois points sont alignés ? Trois points sont toujours dans un même plan

Oui mon premier test les 3 points étaient alignés et ça faisait des divisions par 0.

• x1 = 0, y1 = 0 , z1 = 0 , d1 = SQRT(2)
• x2 = 1, y2 = 0, z2 = 0, d2 = 1
• x3 = 2, y3 = 0, z3 = 0, d3 = SQRT(2)
• x = 1 , y = 1 , z = 0

Là j'ai vite compris que la solution était tous les points d'un cercle et que c'était pour ça que ça fonctionnait pas.
Le trait violet est le cercle vu de profil de la solution
Les points bleus sont les centres de chaque sphère rouge


Ensuite j'ai décidé de ne plus les aligner, mais ils étaient sur la même hauteur et j'avais toujours la division par 0

• x1 = 0, y1 = 0 , z1 = 0 , d1 = 1
• x2 = 1, y2 = 0, z2 = 0, d2 = SQRT(2)
• x3 = 0, y3 = 0, z3 =1 , d3 = SQRT(2)
• x = 0 , y = 1, z = 0

En fait c'est parce que si les 3 points sont sur la même hauteur la solution est aussi un cercle
Ici j'ai pas peu dessiner le point 3 mais il est en profondeur et son point bleu est superposé avec le point bleu de gauche


Mais si je décide de surélever un peut le point 2

alors là on voit le trait violet vertical est la solution du croisement entre le point 1 et 3
et le trait violet en diagonale est la solution du croisement entre le point 1 et 2
et le croisement des traits violets donne une solution en un point unique