Résolution d'une équation avec sinus cardinal

[kevinyaya]

Bonjour,
j'ai rencontré quelques problèmes pour résoudre l'équation suivante
soit x=theta/i appartenant à ]0,Pi]. Soit alpha appartenant à [0,1[ .
mon équation est sinc(x)=alpha . alpha est connu, et pour les nioubs, sinc(x)=sin(x)/x

ma question est simple : Comment trouver i? :hum:

merci pour votre aide,
Kevin

[serge75]

Ta question n'est pas claire. Theta est-il fixé ou pas?
Quoi qu'il en soit, l'allure de la courbe de sincau voisinage de 0 (une sorte de sinusoïde d'amplitude croissante quand x se rapproche de 0) nous dit qu'ellle coupe une infinité (dénombrable) de fois la droite d'équation y=alpha. Donc une infinité de solution en x, qui à mon avis ne peuvent se déterminer que numériquement. Tout au plus si on veut une unicité peut-on regarder la plus grande de ces solutions lorsque alpha est non nul.
Précise s'il te plait ta question

[kevinyaya]

on cherche une des solutions et non pas toutes. de plus on ne cherche pas x (il y en a une infinité) mais i avec x=theta/i, theta non fixé. Une résolution numérique s'impose bien entendu. Mais je n'ai pas trop d'idées de comment faire. Je commence à me taper la tête contre les murs :mur:

[kevinyaya]

je pense à la méthode de Newton-Raphson mais je suis pas sûr

[kevinyaya]

soit dit en passant si tu limites x à l'intervalle [0,Pi], sinc est strictement décroissante donc la solution est unique, enfin je crois
Kevin

[serge75]

Exact, j'ai dit une grosse bêtise quant à l'allure de sinc sur [0,Pi] (je visualisais (1/x)*sin(i/x). Mea culpa.
Ceci dit, pour alpha dans [0,1], sinc étant strictement décroissante sur [0,Pi], l'équations sinc(x)=alpha a une unique solution en x.
De là, si (par exemple), x=0,5 était cette unique solution, tous les couples (theta,i) tels que theta=0,5*i conviennent.
De là, je ne vois pas ce qui te pose problème, à moins d'avoir une autre condition qui relie alpha et i.
En résumé : résoudre numériquement par la méthode de ton choix (Newton en prenant une valeur initiale à un endroit où la pente est forte, dichotomie ou autre) l'équation sin(x)-alpha*x=0. L'unique solution en est x, puis les solutions sont tous les couples (theta,i)=(i*x,i).

[kevinyaya]

c'est bien ce que je pensais, le but étant de toutes façons de trouver x après je me débrouille. Mais n'y a-t-il pas une méthode analytique? comme c'est pour l'utiliser dans un algorithme qui va subdiviser un maillage avec plus ou moins beaucoup de faces, il faut que le tps de calcul soit très rapide (un calcul par face subdivisée, donc par exemple s'il y a 10000 faces ça peut être long)... Je pensais peut être en passant par exp(i*x) mais j'arrive pas à résoudre... sinon un DL à l'ordre 3 donne des résultats rapides mais pas assez précis :(

[serge75]

en gros, il te faut un algo qui te résolve le plus rapidement possible sinx=alpha*x, pour alpha fixé ?
Je pense qu'effectivement la méthode de Newton sera la plus efficace. Je t'invite à fouiller dans tes documents pour une majoration convenable de l'erreur qui t'assure une bonne évaluation de alpha à la précision que tu souhaites.

[kevinyaya]

ok, merci beaucoup, je vais tester en parallèle newton et DL d'ordre 3 et puis choisir une des deux
en tout cas merci pour vos réponses, ça m'a bien aidé
cordialement,
Kevin