Residus

[Als128]

Bonjour,

J'ai une petite question concernant le calcul d'un résidu en un point.
Si j'ai bien compris mon cours, trouver le résidu d'une fonction f(z) en un point revient à :
-Exprimer le developpement limité de la fonction en ce point
-"récupérer" le numérateur du terme en 1/z qui correspond au résidu de f en ce point.

C'est ça?

[MathMoiCa]

Voui.


M.

[Ben314]

Juste un "détail" au niveau du vocabulaire, dés qu'il y a du 1/z (et plus), normalement, derrière le mot "développement limité" on est sensé au minimum rajouter "généralisé" (ou alors parler de développement asymptotique)
Sur le principe, par rapport au D.L. "normaux", ça ne change pas vraiment la façon de mener les calculs...

[Als128]

Merci... J'ai besoin d'un petit coup de main supplémentaire (je sais j'abuse :we: ) Quand on applique le théorême des résidus pour calculer une intégrale, comment on procède pour passer de l'intervalle de R au plan de C ?

Parce que j'ai bien compris que l'intégrale d'une fonction holomorphe sur un domaine de C est égale à la somme des résidus des points singuliers mais j'ai un peu de mal pour passer d'une intégrale sur R à un domaine de C

Il y a une methode établie ou c'est tout au feeling ?

Ex : (tiré de mon cours) comment je sais que pour calculer il faut que je passe par l'utilisation du théoreme des résidus sur ou désigne le 1/2 cercle de centre 0 et de rayon R et que je fasse tendre R vers

[Ben314]

Bon, tout d'abord, on intègre pas "sur un domaine" mais le long d'un chemin qui, dans le cadre du théorème des résidus est le bord d'un domaine parcouru dans le sens direct (et on ne considère que les résiduts des pôles qui sont dans le domaine)

Ensuite, effectivement, le théorème des résiduts ne permet de calculer des intégrales que sur des lacets (i.e. des "chemins circulaires") donc ne permet pas de calculer directement des intégrales réelles qui sont des intégrales sur un segment ( qui, bien sûr, ne risque pas d'être circulaire). On doit systématiquement "compléter" le segment pour le rendre circulaire et, très souvent, on utilise un demi cercle pour faire le "retour", mais on peut, dans certain cas utiliser un carré ou un rectangle dont un des cotés est le segment réel de départ.
Tout dépend de la fonction que l'on a à intégrer. Au début, c'est presque toujours un demi cercle, ensuite, on voit des exemples un peu plus techniques qui utilisent des lacets un peu plus complexe. En faisant des exercices, on visualise petit à petit les liens "tels type de fonction => tel type de lacet" (dans beaucoup de bouquins, pour les exos "de base" ou quand c'est un peu compliqué, on donne en indication le lacet "qui marche bien")

P.S. Il est assez clair que le théorème des résiduts ne peut pas directement s'appliquer à des "segments infinis" comme ]-oo,+oo[ donc, systèmatiquement, dans ce cas, on applique à des segments [-R,R] puis on fait tendre R vers +oo