Remarque sur le nombre d'or

[L.A.]

Bonjour à tous et à toutes,

on sait que le nombre d'or apparaît dans un pentagone régulier comme le rapport entre les longueurs de la diagonale et du côté. Mais c'est aussi vrai pour un pentagone non régulier qui vérifie seulement la propriété que ses diagonales sont parallèles aux côtés qu'elles ne rencontrent pas.

D'où ma réflexion un peu brouillonne suivante : il est donc possible de "caractériser" le nombre d'or par une propriété affine (qui ne fait appel qu'à la structure d'espace vectoriel ou affine réel, colinéarité, parallélisme, Thalès essentiellement) mais qui n'utilise aucun outil euclidien (Pythagore, produit scalaire, angles, orthogonalité, normes, cercles, comparaison de longueurs non parallèles, etc...) : c'est le rapport de colinéarité qui apparaît dans une figure de cinq points non alignés qui vérifient pour tout i dans Z/5Z.

Si l'on regarde tous les rapports qui sont "affinement caractérisables" (et si pour commencer on définit convenablement ce que cela veut dire), on se convainc facilement que cela forme un corps compris entre Q et R qui n'a pas forcément de lien avec les corps des nombres constructibles à la règle et au compas (outil euclidien) : par exemple, les rapports de l'heptagone régulier sont aussi caractérisables affinement, mais pour racine de 2 ça me semble plus difficile. D'ailleurs une propriété qui caractérise un rapport x ne permet pas forcément de le constuire (i.e. construire un vecteur xu à partir d'un vecteur u donné), c'est plus un test "a posteriori".

Est-ce que ce genre de notion existe déjà, avec des définitions précises ? est-ce qu'on peut non seulement caractériser mais aussi construire des nombres irrationnels avec des procédés purement affines (les nombres rationnels étant tous constructibles par des parallélogrammes et Thalès) ? Est-ce que la dimension (au moins 2 requise) a une influence éventuellement ?

Merci pour vos suggestions