Reduction de variance

[chmole]

Salut, je colle sur un truc en statistiques,


Je cacule une VaR(value at Risk) a 99,5% ou 99,97% d'une loi dont je ne connais pas la distributions.Je la calcule avec la methode de monte carlo, le probleme c'est qu'il me faut genre 100000
de simulations pour trouver une valeur de la VaR assez stable ce qui est beaucoup.
Est ce quelqu'un connait une methode de reduction de variance de la VaR, un peu comme les variables antitheque pour l'esperance.Pour avoir la meme precision mais avec moins de simulations.
merci

[kazeriahm]

en quoi le nombre de simulations influe t-il sur la variance ? c'est juste la méthode qui influe il me semble

je connais pas du tout la modélisation financière mais il y a plein de méthodes de réduction de variances autre que les variables antithétiques, type conditionnement ou échantillonage préférentiel.

[chmole]

le nombre de simulations n'influe pas sur la variance mais c'est la variance (de la loi de la VaR) qui influe sur le nombre suffisant de simulations pour avoir une valeur de la VaR stable.

Il y a les fonctions d'importance mais je ne vois pas trop quelle fonction prendre?

[kazeriahm]

beh pour faire ca faut avoir une idée de la distribution de la v-a et approximer sa densité

tu peux donner plus d'info sur ton problème ? ca veut dire quoi value at risk (mathématiquement) ?

[chmole]

la Value at risque à p% par exemple est : pour une densite de proba de X donné, la valeur V de X telle que p% des valeurs prise par X sont inferieure à V. par exemple pour une loi uniforme (0,1) la VaR à 90% est 0.9. (wiki est plus detaillee)

Sinon je ne connais pas la loi de densite par avance (je l'approche avec monte carlo) de la loi, ni de la loi de la VaR.
je ne sais pas si ta compris?mais pose moi des questions sinon?

[kazeriahm]

ca doit etre faisable d'exprimer la VaR comme l'é"spérance d'une v-a non ? ou il faut des méthodes bien spécifiques ?

[chmole]

moi je tire (n fois) des nombres aleatoire (dont je ne connais pas la distribution de probabilité).a la fin j'ai n nombres et je calcule la VaR. C'est la VaR qui m'interesse.
Question : comment avoir la meme valeur de la VaR avec m tirages (avec m << n ) ?
c le probleme a resoudre.

[kazeriahm]

Si la seule facon convenable de tirer des nombres pour ton probleme est un tirage uniforme ca va etre dur de réduire la variance. A la limite tu peux tenter d'utiliser les variables antithétiques. Toutes les autres techniques utilisent de près ou de loin des informations un plus précises que la symétrie sur la densité de la distribution

[chmole]

non, ce n'est pas un tirage uniforme (au fait, il y a p tirage (parametre differents) avec une loi de bernoulli, on somme le resultat de ses p tirages pour obtenir un tirage. On reitere l'operation n fois, puis on calcule la VaR...etc

[kazeriahm]

est-ce que toutes tes lois de Bernouilli ont le meme parametre (meme probabilite de succes) ? Si c'est le cas, faire la somme de p Bernouilli (independantes) c'est faire une binomiale. Faire la somme de binomiales (independantes) c'est encore une binomiale (puisque c'est encore une somme de Bernouilli). Donc en fait tu connaitrais la loi de ta va ! Et en particulier la VaR !

[chmole]

Non il n'on pas le meme parametres. et en plus il y a des facteurs de correllations. (avec l'etat du monde)

[kazeriahm]

en fait dans ce cas, les techniques dites de conditionnement doivent marcher. Je te donne un exemple, tu adapteras au problème. Tu veux calculer I=E(Z) où Z=f(X,Y) est une v-a, X et Y sont deux va.

Si tu sais calculer g(y)=E(f(X,y)) (de manièr exacte), alors généralement tu réduis la variance en écrivant I=E(g(Y)) et en faisant du Monte-Carlo sur cette dernière esperance.

J'espere que c'est pas trop flou. Ici il faut que tu regarde la loi d'une Bernouilli sachant une autre Bernouilli.

[chmole]

ok disons que X serait ma v a et Y l'etat du monde.

Je ne vois pas pourquoi la variance serait reduite, sa ne fait que faciliter le calcul ?

[kazeriahm]

en fait c'est assez dur de prouver a la main que la variance sera réduite, mais généralement, numériquement, la variance de l'estimateur est réduite.

C'est normal quand on y réfléchit : avec X et Y on a "deux degrés de libertés". En conditionnant, si on sait le faire, il ne nous en reste plus qu'un seul.

Moi je dirais qu'il faut conditionner sur les v-a X1,...,Xn qui sont tes différentes lois de Bernouilli

[chmole]

est ce que tu connais les fonctions d'importances pour la loi normale? est ce que tu connai leur principe?