soit E de dimension finie et u application linéaire on suppose P polynome annulateur de u tel que
P=QR avec Q et R sont premiers entre eux
montrer que
ker(Q(u)=Im(R(u)) et ker(R(u))=Im(Q(u))
merci de m'aider à résoudre cet exercice
Reduction des endomorphisme
2 messages
- Page 1 sur 1
Re: reduction des endomorphisme
par Ben314 » 11 Nov 2018, 09:32
Salut,
C'est on ne peut plus classique (c'est le début du "lemme des noyau") et pas bien difficile :
1) Vu les hypothèses, tu as\!\circ\!R(u)\!=\!P(u)\!=\!0_{\mathcal L(E)})
Qu'en déduit tu concernant les noyaux/images de)
et )
?
Et du fait qu'on a aussi\!\circ\!Q(u)\!=\!P(u)\!=\!0_{\mathcal L(E)})
, tu en déduit quoi ?
2) Vu que
et 
sont premiers entre eux, ça signifie qu'il existe deux polynômes 
et 
tels que 
(Bézout), c'est à dire \!\circ\!A(u)\!+\!B(u)\!\circ\!R(u)\!=\!\text{Id}_E)
.
Qu'en déduit tu concernant les les noyaux/images de et ?
Et du fait qu'on a aussi\!\circ\!Q(u)\!+\!R(u)\!\circ\!B(u)\!=\!\text{Id}_E)
, tu en déduit quoi ?
3) Conclure et montrer même un peu mieux, à savoir que
est somme directe de \big)\!=\!\text{im}\big(R(u)\big))
et de \big)\!=\!\text{im}\big(Q(u)\big))
.
C'est on ne peut plus classique (c'est le début du "lemme des noyau") et pas bien difficile :
1) Vu les hypothèses, tu as
Qu'en déduit tu concernant les noyaux/images de
Et du fait qu'on a aussi
2) Vu que
Qu'en déduit tu concernant les les noyaux/images de
Et du fait qu'on a aussi
3) Conclure et montrer même un peu mieux, à savoir que
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
2 messages
- Page 1 sur 1
Qui est en ligne
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 219 invités
Tu pars déja ?
Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !
Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :