Récurrence : démonstration d'une suite ?

[Anonyme]

Bonsoir,

Aujourd'hui mon professeur de prépa maths, nous a donné cet énoncé en fin d'heure pour faire à la maison. Je me suis empressée de le faire en rentrant, mais je ne sais pas si ce que j'ai fait est complet ou incomplet.

Je vous expose ce que j'ai fait, pour ensuite avoir de votre aide s'il-vous-plait...
(Et non je ne suis pas en prépa, je ne suis qu'en terminale ES. Mais nous avons des cours de prépa, pour nous préparer au supérieur pour ceux qui veulent...)

L'énoncé est très court, le voici :
Soit :


Aucune indication nous a été donné, donc j'ai procédé comme je le pensais. Et je sais que la rédaction n'est pas top...

Alors voilà :

Vu que la suite est arithmético-géométrique, j'introduis la suite et je constate que :

Ainsi que :










Ensuite, en fonction de :


















est donc une suite géométrique de raison


Puis, en fonction de :









Je développe et j'ai :





Voilà ce que j'ai fait... Est-ce qu'il faudrait que je fasse encore quelque chose ? Ou vous pensez que c'est tout ce que le professeur attends de moi ?

C'est long, et mal rédigé, j'en suis consciente, mais je n'ai pas encore vu comment rédiger, calculer quoi en premier et tout, donc pardonnez-moi...


Je remercie d'avance tout intervenant !

Bonne soirée

[Nightmare]

Hello,

j'ai un peu du mal à voir où tu vas en venir.

Tu pars de U(n+1)=-2U(n)+5 et après un long calcul, tu arrives à ... U(n+1)=-2U(n)+5 ?

[Anonyme]

Hello,

j'ai un peu du mal à voir où tu vas en venir.

Tu pars de U(n+1)=-2U(n)+5 et après un long calcul, tu arrives à ... U(n+1)=-2U(n)+5 ?

Je ne sais pas trop non plus où je veux en venir en fait :hum:
Mais je voulais montrer en fonction de n.

Disons qu'on nous a donné aucune indication, donc j'ai fait comme ça me venait... Et je ne sais non plus pas ce qu'il veut qu'on démontre le professeur :/

[Nightmare]

Tu as introduit une suite V(n). L'intérêt de cette dernière est que, telle que tu l'as posée, elle est géométrique, et les suites géométriques on sait facilement exprimer leur terme général en fonction de n.

Ensuite, ayant U(n) en fonction de V(n), on pourra en déduire l'expressions du terme général de U(n) en fonction de n.

:happy3:

[Anonyme]

Tu as introduit une suite V(n). L'intérêt de cette dernière est que, telle que tu l'as posée, elle est géométrique, et les suites géométriques on sait facilement exprimer leur terme général en fonction de n.

Ensuite, ayant U(n) en fonction de V(n), on pourra en déduire l'expressions du terme général de U(n) en fonction de n.

:happy3:

Aah d'accord ! Merci beaucoup Nightmare !
Ma façon de procéder pour le moment est juste ?

Mon prof' a dit qu'il lui ai déjà arrivé de donner ça en début de prépa en khôlles... Mais je n'ai pas compris pourquoi on fait tous ces calculs... Ça nous sert à prouver quoi ? Parce que je me suis lancée dans les calculs, mais sans savoir vers quoi je devais aboutir ^^

[Nightmare]

Déjà, pourquoi as-tu introduit la suite V(n)? Pourquoi celle-ci et pas une autre?

[Anonyme]

Déjà, pourquoi as-tu introduit la suite V(n)? Pourquoi celle-ci et pas une autre?

Très bonne question ... :soupir:
Disons que c'est devenu un automatisme chez moi, lorsque je vois que la suite est arithmético-géométrique, j'introduis une autre suite, qui elle est géométrique ou arithmétique. Mais je ne saurais te répondre à ta question :triste:

[Nightmare]

Si c'est devenu un automatisme, ça veut dire que tu as déjà fait ce genre de chose avant non?

J'ai un peu du mal à te suivre en réalité.

[Anonyme]

Si c'est devenu un automatisme, ça veut dire que tu as déjà fait ce genre de chose avant non?

J'ai un peu du mal à te suivre en réalité.

Oui j'ai déjà fait ce genre de chose en classe avec mon professeur de maths. Mais c'était différent, vu que c'était lui qui nous introduisait la suite géométrique, on avait des questions posées qui nous guidaient. On n'était pas face à une suite, à devoir faire tout, tout seul sans les questions..

J'ai du mal à expliqué ce que je ne comprends pas, c'est sûrement pour ça que tu as du mal à me suivre... :triste:

[Nightmare]

L'idée de l'introduction de la suite auxiliaire V(n) je l'ai expliqué dans mon premier post :

Dans ton cours, les seules suites dont on saura toujours exprimer facilement le terme général sont les suites arithmétiques et les suites géométriques.

Ici, U(n) n'est ni l'une ni l'autre, mais elle ressemble un peu aux deux (d'où le nom). Le principe, qui est le même pour toutes les suites arithmético-géométriques, est d'introduire une suite V(n) qui dépend de U(n) et qui est géométrique. On connait alors son terme général en fonction de n et on devrait pouvoir retrouver celui de U(n) en utilisant la relation de dépendance entre V(n) et U(n).

Par exemple (au pif) :
Si l'on avait posé V(n)=3U(n) et qu'on aurait trouvé que V(n)=2^n, alors U(n)=(2^n)/3

[Anonyme]

Rebonsoir Nightmare,

Je m'excuse d'etre partie sans réponse, mais j'étais conviée à diner...
Merci pour ta réponse, je relie ça demain à tete reposée, et viens te demander de l'aide si j'en ai besoin.

Bonne soiree

[Anonyme]

Rebonsoir Nightmare,

Je m'excuse d'etre partie sans donner de réponse, mais j'étais conviée à diner ... ><
Merci pour ta réponse ! Je reprendrai tout ca demain à tete reposée, et reviendrai par ici, si j'ai quelques soucis, ou questions à poser ;)

Bonne soiree !