Racine et Factorisation Polynôme

[LauraLe]

Bonjour,

Je suis en 2ème année de licence de Maths et j'ai un exercice en algèbre linéaire qui porte sur les racines et la factorisation d'un polynôme qui me pose problème.

Voici l'énoncé :

Soit P(X)=X^4-6X^3+7X^2-18X-8^

1)Trouver Q appartient R[X] tel que deg(Q)=2 et deg(P-Q^2)=2, et tel que (P-Q^2) a une racine double.
2)Factoriser P sur R

Où j'en suis dans mon exercice ?

1) (Je suppose que Q=quotient). D'après l'énoncé, deg(Q)=2 donc je pose que Q=aX^2+bX+c avec a,b,c appartiennent à R
Ensuite, j'ai calculé Q^2=a^2x^4+2abx^3+(2ac+b^2)x^2+2bcx+c^2
Puis P-Q^2=(1-a^2)x^4+(-6-2ab)x^3+(7-2ac-b^2)+(-18-2bc)x+(-8-c^2)
mais comme deg(P-Q^2)=2 je dis que (1-a^2)=0 donc a =1 ou a=-1 et -6-2b=0 donc b=-3 ou b=3
Malheureusement, je ne sais plus quoi faire après ...

Cependant, j'avais peut-être une autre piste en posant F(X)=(P-Q^2)
F(X)=1(X-a)^2 car il y a une racine double: a et que deg(F)=2 et je calcul F^2=(X^2-2aX+a^2)
puis j'aurais fait que (2a) est égal au coefficient devant X^2 de (P-Q^2) etc ... mais je n'ai pas réussi à trouver P-Q^2


2) Pour factoriser P sur R, je suppose qu'il faut que je mette P=(X-a)(X-b)(X-c)(X-d) avec a,b,c,d appartiennent à R mais je ne sais pas tellement m'y prendre ...


Je vous remercie d'avance pour les réponses que vous allez m'apporter !

Cordialement

[sofianmakhlouf]

Tu a juste trois inconnues

P(X)-(X*2-3X+c)*2=a(X-b)*2

[LB2]

Bonsoir,

Je crois que l'idée de l'exercice, c'est une fois que tu as trouvé , espérer que , exprimer P comme une différence de carrés et utiliser l'identité remarquable de factorisation dans
A^2-B^2 = (A-B)(A+B) ce qui donnera P comme un produit de deux polynômes de degré 2, dont on vérifiera s'ils sont irréductibles ou non

Attention cependant, factoriser P sur R[X] ce n'est pas comme sur C[X], il y a également des facteurs de degré 2 qui sont irréductibles (ceux dont le Delta est <0 )

Tu étais bien partie pour trouver cette écriture.
Disjonction de cas (a=1, b=-3) et (a=-1, b=3).
Pour exprimer qu'un polynôme du second degré a une racine double, on écrit que son discriminant est nul.
Dans les deux cas, on obtient une équation de degré 3 à une inconnue (avec tes notations, c) qui heureusement admet une racine évidente, et qui fournit une valeur de Q qui fonctionne.

PS : Il s'agit d'un (très joli) exercice d'algèbre de polynômes, pas d'algèbre linéaire ici!

[lyceen95]

LB2 a tout dit. Je ferai juste une remarque sur le message de LauraLe
Tu écris dans ta réponse ... donc a =-1 ou 1 puis b=-3 ou 3
Rédigé comme ça, on comprend qu'on a 2 options pour a et 2 options pour b, donc 4 options pour le couple (a,b).
Alors qu'en fait, tu arrives à (a,b) = (1,-3) ou (-1,3). Donc seulement 2 options.

[sofianmakhlouf]

On a besoin d'un seul Q car si Q est solution alors -Q l'est

On peut avoit a=1 et b=-3 directement grâce à l'élimination des
X*4 et X*3

[LauraLe]

Je vous remercie pour les réponses que vous m'avez apportées ! J'ai tout compris !
Merci encore et bonne journée