Quotient réductible

[khadi8]

salut
svp qui pourra me montrer comment trouver a et b et c et d et e

x+1/x(x²+1)² = a/x + (bx+c) / x²+1 + (dx+e) / (x²+1)²

mercii

[Ericovitchi]

Tu as la façon bourrin qui est de réduire au même dénominateur la partie à droite de l'égalité puis de d'identifier chaque terme avec la partie de gauche. Ca te fait un système qui te donnera a,b,c,d,e

Et puis il y a des astuces élégantes.
tu écris x+1/x(x²+1)² = a/x + (bx+c) / x²+1 + (dx+e) / (x²+1)²

et puis mentalement tu multiplies à droite et à gauche par x et tu fais x=0
A droite il ne reste que a et à gauche il reste 1 donc a=1

multiplies par (x²+1)² et fais x=i ça donne (i+1)/i = id+e donc 1+i=-d+ie d'où d=-1 et e=1

multiplies par x et fais tendre x vers l'infini
ca donne 0= a + b et comme a=1 donc b=-1

tu peux aussi remplacer x par des valeurs simples comme 1 ou -1
etc....

[khadi8]

merciiii beaucoup

[khadi8]

stp j pas compris comment vous avez trouver les valeur de d et e on passant de la (i+1)/i = id+e donc 1+i=-d+ie a la d'où d=-1 et e=1

[Ericovitchi]

(i+1)/i = id+e je multiplies tout le monde par i
1+i = i(id+e)= -d+ i e
2 nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont égales donc d=-1 et e=1