Question d'instinct : le laplacien

[Mathusalem]

Bonsoir,

J'essaie d'acquérir une notion intuitive de l'opérateur différentiel tel que

J'arrive à me représenter ce que veut dire le gradient et la divergence, mais avec le laplacien, j'ai beau regarder, je bloque. En prenant l'exemple particulier d'une nappe dans R3 (f(x,y) = z), est-ce que vous avez une interprétation du laplacien ?

Merci,
Math

[kazeriahm]

Bonjour,

bon même si c'est pas génial il y a toujours ca : http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rateur_laplacien#Interpr.C3.A9tation

Le Laplacien intervient très fréquemment dans les problèmes physiques (équation des ondes, de la chaleur, etc...), de manière général c'est un opérateur central dans la théorie des équations aux dérivées partielles (en fait il est le "roi" de la classe des opérateurs dits elliptiques).

Sinon, d'un point de vue personnel, je n'ai pas d'interprétation physique du Laplacien mais je travaille réguliérement avec, et il faut l'accepter comme un outil de calcul très pratique. Un peu comme le nombre complexe i avec lequel on apprend à travailler au début sans forcément se demander à chaque fois quelle est son "interprétation". Il y a beaucoup d'objets en maths qui requièrent une construction un peu abstraite (par exemple le laplacien ou les distributions en analyse, ou le mouvement brownien en proba) mais qui sont très pratiques pour le calcul une fois qu'on met de côté leur définition "intrinsèque".

[Mathusalem]

Merci,
Je suis aussi allé regarder du côté de Wikipedia mais en effet c'est pas génial niveau feeling.

J'ai lu ton commentaire cependant je suis pas certain certain que ce soit un outil qu'il faille "accepter". Le gradient a une interprétation claire tout comme la divergence.. Je vois mal comment la combinaison des deux peut devenir si abstraite.

Je me demande par exemple si une nappe dans R3 qui possède un laplacien nul a une particularité géomètrique observable. Mais j'arrive pas à trouver assez d'exemples variés à plotter pour me rendre compte.

[kazeriahm]

Une étude à faire qui est intéressante pour comprendre un peu le Laplacien c'est la modélisation qui mène à l'équation des ondes ou l'équation de la chaleur dans lesquelles interviennent le laplacien, mais ca explique pas tout.

Sinon ils en parlent dans Wikipédia et c'est un truc très classique : si u est une fonction de R^n dans R par exemple telle que alors pour tout x dans R^n, u(x) est égal à l'intégrale sur la sphère de rayon r et centrée en x de f, et ce indépendamment de la valeur de r choisie (à une constante de normalisation près)

En gros f(x) est la moyenne de f(y) pour y dans la sphère de rayon r et de centre x

Si tu te places en 1D, le Laplacien est l'opérateur de dérivée seconde, et dire que Laplcien(u)=0, c'est dire que u est affine, et on retrouve bien ce phénomène.

Donc une intérprétation du Laplcien est que Laplcien(u)(x) mesure la distance entre u(x) et la moyenne de u(y) pour y sur la sphère, etc....

[Mathusalem]

Merci de ta réponse, j'vais creuser un peu. J'crois que sur ce coup là, l'instinct viendra en pratiquant :triste:

Math

[fatal_error]

salut,

un exemple ici
avec un laplacien discret.

bon ok, il est un peu tweaké parce qu'on a un à priori sur i. Mais après tu peux faire ta généralisation

[Mathusalem]

Merci du lien, c'est super intéressant. Bon j'ai pas tout à fait capté comment la détection se fait, mais l'analyse qui est faite en comparant reste assez cool

[fatal_error]

Au début t'as une image I
tu la convol avec le masque correspondant au laplacien.
T'obtiens une image I'

Pour cette image I', à chaque fois que t'as un pixel qui vaut 0 (à peu près), ca veut dire que le laplacien s'annule, donc que le gradient atteint un extremum (une seule dérivée directionnelle considérée, l'autre négligeable), cad qu'il y a très forte variabilité du niveau de gris local (discontinuité).

[Mathusalem]

Ah okay... Donc pour faire le contour, là où le laplacien est nul / le gradient est max, tu mets un point noir pour tracer le contour