Question d'arithmétique

[euler21]

Bonsoir
J'ai une question qui concerne des propriétés de l'arithmétique. Soient a,b deux entiers strictement supérieurs à 1 tels que a^b=1. Je dois trouver le plus grand nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme a*u+b*v avec u et v des entiers naturels. On m'a dit que ce nombre était a*b-a-b. J'ai réussi à démontrer que ce nombre ne peut pas s'écrire sous cette forme mais pour montrer que c'est le plus grand je n'ai pas d'idées.
Quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plaît?

[yos]

Bonjour.
Prends n > ab-a-b.
L'équation ax+by=n a une infinité de solutions dans Z². Regarde ces solutions comme points à coordonnées entières de la droite ax+by=n et montre que l'une d'elle est sur le segment de cette droite inclus dans le premier quadrant du repère.

[euler21]

est ce que je dois montrer qu'il existe un t appartenant à [0,1] tel que :
t*(n/a) est un entier naturel et (1-t)*(n/b) est un entier naturell ??
J'ai essayé de le montrer mais je n'y suis pas parvenu.
Quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plaît ??

[yos]

est ce que je dois montrer qu'il existe un t appartenant à [0,1] tel que :
t*(n/a) est un entier naturel et (1-t)*(n/b) est un entier naturell ??

Je vois pas bien le rapport avec la question.

Quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plaît ??

Ben je croyais l'avoir fait. C'est à moi de faire le dessin?

[euler21]

bonsoir
la question que je me pose c'est est ce que je dois démontrer ce que g dit ; soit je dois démontrer que la distance entre deux solutions consécutives est supérieur à la distance du segment situé dans le premier cadran.

[yos]

je dois démontrer que la distance entre deux solutions consécutives est supérieure à la distance du segment situé dans le premier cadran.

Oui : il y a de ça. Mais je vois pas ce que ton "t" vient faire là-dedans.

Je suggère de montrer la contraposée de ce qu'on veut : tu supposes que le segment n'a pas de point à coordonnées entières et tu dois prouver que .
La distance entre deux solutions consécutives est .
Celle-ci est donc strictement supérieure à EF où E(n/a,0) et F(0,n/b). Il y a encore une subtilité car cette inégalité stricte est insuffisante. Tu peux dire un truc plus fort :
où I est le point de la droite D d'ordonnée -1, et J le point de D d'abscisse -1. En effet, si [EF] n'a pas de point à coordonnées entière, alors non plus.

[euler21]

pourquoi la distance entre deux solutions consécutives est rac(a²+b²) ??

[Ben314]

On peut effectivement "voir" géométriquement le problème, mais en fait, ce n'est pas indispensable :
Pour un c dans N fixé, montre que l'équation au+bv=c a une infinité de solutions avec (u,v) dans Z² mais une UNIQUE (uo,vo) telle que 0<=uo<b puis qu'il y a des solutions avec u,v positifs si et seulement si vo est positif.
Enfin quel est le plus grand nombre c possible s'écrivant c=auo+bvo avec 0<=uo<b et vo<0 ? (c'est lui le plus grand nombre que l'on ne peut pas écrire)

[yos]

pourquoi la distance entre deux solutions consécutives est rac(a²+b²) ??

Si est une solution de ax+by=n dans Z², alors les solutions sont les couples où k décrit Z.
Deux solutions "consécutives" sont donc du type et et leur distance est bien (norme de (-b,a) ).