Question d'arithmétique

[Ludo1be]

Bonjour,

Ici je fais un peu d'arithmétique et je cale sur une question semblant simple...

Soit n un nombre naturel:
On me demande le
a) PGCD de n+1 et 3n+4
b) PGCD de n²+5n+7 et n+1.

Je me demande comment aborder cela, pour le a) , j'ai essayé de diviser 3n+4 par n+1 (Horner) et forcément j'obtiens un reste donc pas possible de simplifier les expressions, de même pour la b)...
Je sèche complètement....

Si quelqu'un saurait m'aider, ce serait génial.
Merci.

[jlb]

Salut, pour le premier, pense à Bézout et pour le second à l'algorithme d'Euclide ( le résultat va dépendre de n). Bon courage.

[Ludo1be]

Pour Bézout, j'essaye de démontrer qu'il existe u et v entiers tels que u.(n+1)+v(3n+4)=1 c'est ça? Et de là dire qu'ils sont premiers entre eux.
Pour résoudre cela, le plus simple c'est par les matrices de Blankinship?

Pour le b) en utilisant Euclide, j'ai bien su montrer que le PGCD est égal à 1 et donc les nombres sont premiers entre eux.

Pour le a), je ne peux pas utiliser Euclide et dire que:
3n+4 = 3.(n+1)+1
3=1.3+0

Donc PGCD est 1 aussi?

[jlb]

Pour le b) en utilisant Euclide, j'ai bien su montrer que le PGCD est égal à 1 et donc les nombres sont premiers entre eux [ pour l'instant, il y a un pb: pour n=2 , par exemple n²+5n+7=21 et n+1=3].

n²+5n+7=(n+1)(n+4)+3 d'où pgcd(n²+5n+7,n+1)=pgcd(3,n+1) et la division de n+1 par 3 peut avoir 0,1,2 comme reste suivant les valeurs de n. A toi, de terminer!!

Pour le a),
3n+4 +(-3).(n+1)=1
Donc PGCD est 1 [ OK, c'est th de Bézout sinon la méthode algo Euclide fonctionne aussi]