Propriété - triangulation de Delaunay

[kentin69]

Bonjour, dans le cadre des TIPE je travaille sur la triangulation de Delaunay.
Je suis donc tombé sur cette propriété:
Pour déterminer si le point s est à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle circonscrit au triangle orienté pqr on regarde le signe du déterminant:

Dans le plan, une manière de détecter si un point D se trouve dans le cercle circonscrit de A, B et C est d'évaluer le déterminant de la matrice suivante :



En supposant que A, B et C sont placés dans le sens anti-horaire, ce nombre est positif si et seulement si D se trouve dans le cercle circonscrit.

Je trouvais donc interressant de le démontrer, mais je n'ai aucune piste pour démarrer, et mon prof de maths fait partie du jury d'oral, je ne voudrais donc pas m'adresser à lui.

Quelqu'un aurait une idée?

En vous remerciant!

[Doraki]

On voit en développant le déterminant à gauche qu'on obtient une équation de cercle :
a(Dx²+Dy²) + bDx + cDy + d = 0.

De plus, D = A, B, ou C annule trivialement le déterminant.

[kentin69]

A oui j'avais pas pensé à l'équation du cercle...
Merci bien! je vais aller pousser tout ça!

[Ben314]

Tu constate que ton déterminant 4x4 est invariant à changement d'origine du repère prés (i.e. si on ajoute la même constante à , cela ne change pas le déterminant, idem avec les )
En supposant bien entendu non alignés, on peut donc sans perte de généralité supposer que l'origine du repère est le centre du cercle circonscrit au triangle .
Si est le rayon de ce cercle et si on pose , ton déterminant est alors :

où est une constante non nulle qui ne dépend que de l'orientation du triangle .

[kentin69]

Merci Ben!

[MacManus]

Hello

Je me permets de relancer un peu cette discussion, car j'essaye moi-même de programmer une telle triangulation (dans le plan).

Et en ce qui concerne l'expression du déterminant (que tu donnes Ben), je ne comprends pas trop pourquoi, dans le déterminant 4x4, tu utilises le même R (3ème colonne). Car si j'ai bien compris, tu dis à la fois que :






alors bon il est vrai que je n'ai pas fais de dessin, c'est ptète pour ça que je ne vois pas trop.

si tu veux bien m'en dire qq mots Ben, merci !