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par **Trident** » 19 Fév 2015, 18:42

Bonjour, dans la lecture de ce cours http://www.math.jyu.fi/research/reports/rep90.pdf , il y a une proposition que je n'arrive pas à démontrer. Il s'agit de la proposition 1.15 page 9.

Quelques définitions d'abord.

Espace doublant :

Soit

un espace métrique. On dit que

est doublant s'il existe une constante C >=1 telle que toute boule

(pour tout centre

) de rayon

peut être recouverte par au plus

boules de rayon

.

-net :

Soit

un espace métrique. Soit

. Soit N une famille de points de X. On dit que N est un

-net si :

- tous les éléments de N sont à distance d'au moins

les un des autres :

-

Remarque : Quelque soit \epsilon > 0, un \epsilon net existe toujours dans un espace métrique.

Voici la proposition qui me pose problème, je ne vois pas comment démarrer :

Soit (X,d) un espace métrique.
Alors :

X est doublant si et seulement s'il existe une constante

et

tel que pour tout

et toute boule

de rayon

:

card(

-net dans l'espace métrique

)

pour tout

Ici, card signifie la cardinalité, i.e. nombres d'éléments d'un ensemble.

Merci d'avance si vous avez des pistes.

par **Doraki** » 19 Fév 2015, 19:10

je suis pas sûr de comprendre la fin.
C'est "pour tout ;) dans ]0;1/2], pour tout (;)R-net) N, card(N) <= C'/;)^;) ?

par **Trident** » 19 Fév 2015, 20:13

[quote="Doraki"]je suis pas sûr de comprendre la fin.
C'est "pour tout

dans ]0;1/2], pour tout (;)R-net) N, card(N) 0, le nombre de epsilonR-net distincts qu'on peut créer dans une boule BR de rayon R (de centre quelconque) est majorée par C'/ eps^{alpha}.

Mais du coup, tu me met le doute, ta compréhension est aussi légitime. Il est en tout cas énoncé tel quel dans le lien que j'ai envoyé.

par **zygomatique** » 19 Fév 2015, 20:31

salut

on peut remarquer que tout sous-espace d'un espace doublant est doublant ...

alors la conclusion est relativement immédiate sachant la condition des e - net :: d(x, y) > e et du fait qu'une boule est bornée ....

ce qui fait que le cardinal d'un eR - net est borné ...

ensuite évidemment faut travailler plus finement pour justifier la majoration donnée

...

par **Doraki** » 20 Fév 2015, 09:18

Trident a écrit:le nombre de epsilonR-net distincts

Si tu prends le moindre cas non trivial dans R, je pense que t'as une infinité non dénombrable de

-nets, donc bon c'est pour ça que je me disais que y'avait un truc qui n'allait pas.

par **Trident** » 20 Fév 2015, 14:49

Doraki a écrit:Si tu prends le moindre cas non trivial dans R, je pense que t'as une infinité non dénombrable de -nets, donc bon c'est pour ça que je me disais que y'avait un truc qui n'allait pas.

Ok du coup, ça explique peut-être pourquoi je bloquais. Je vzis y re réfléchir.. Si tu as des idées par contre, je suis preneur.

par **Doraki** » 23 Fév 2015, 14:40

zygomatique a écrit:on peut remarquer que tout sous-espace d'un espace doublant est doublant ...

alors la conclusion est relativement immédiate sachant la condition des e - net :: d(x, y) > e et du fait qu'une boule est bornée ....

ce qui fait que le cardinal d'un eR - net est borné ...

tu peux préciser ? je vois pas du tout ton raisonnement.

par **zygomatique** » 23 Fév 2015, 16:53

par définition d'un espace doublant toute boule B(x, r) (bornée) est recouverte par un nombre fini de boules de rayon r/2 ... donc par récurrence par un nombre fini de boules de rayon r/2^n

on va donc pouvoir construire un er-net de cardinal fini recouvrant la boule initiale ....

par **Doraki** » 23 Fév 2015, 18:57

Je vois pas du tout le rapport entre les deux.

Il y a des espaces métriques où toute boule de rayon 1 peut être recouverte par 2 boules de rayons 1/2 (qui ne sont pas doublants), mais où il faut des 1/2-nets arbitrairement grands pour recouvrir ces boules de rayon 1.

par **Doraki** » 25 Fév 2015, 08:25

Bon j'arrivais pas à dormir, et en fait c'est moins compliqué que je ne le pensais.

Si t'as une boule B de rayon r dont le centre est inclus dans une boule b de rayon <= r/2, alors b est incluse dans B (inégalité triangulaire).

Du coup, tu prends un espace doublant de paramètre C, une boule B de rayon R et un ;)R net N de cette boule.
Tu appliques la propriété suffisamment de fois pour recouvrir B par C^n petites boules de rayon R/2^n , de sorte que R/2^n <= ;)R/2 (le plus petit n qui convienne est 1 - log ;)/log 2 arrondi à l'entier supérieur)

Maintenant pour chaque élément x de N, x est dans une de ces C^n boules, et donc la boule B(x,;)R) contient complètement une des petites boules b. Comme N inter B(x,;)R) = {x}, N inter b = {x} aussi et donc les autres éléments y de N ne peuvent pas être dans cette boule b.

Comme il y a C^n petites boules il ne peut donc y avoir au plus que C^n éléments dans N.
Donc |N| <= C^n < C^(2-log;)/log2) = C²/;)^(logC/log2)

(la réciproque est immédiate)

par **Trident** » 25 Fév 2015, 18:20

Doraki a écrit:Bon j'arrivais pas à dormir, et en fait c'est moins compliqué que je ne le pensais.

Si t'as une boule B de rayon r dont le centre est inclus dans une boule b de rayon <= r/2, alors b est incluse dans B (inégalité triangulaire).

Du coup, tu prends un espace doublant de paramètre C, une boule B de rayon R et un R net N de cette boule.
Tu appliques la propriété suffisamment de fois pour recouvrir B par C^n petites boules de rayon R/2^n , de sorte que R/2^n <= R/2 (le plus petit n qui convienne est 1 - log /log 2 arrondi à l'entier supérieur)

Maintenant pour chaque élément x de N, x est dans une de ces C^n boules, et donc la boule B(x,;)R) contient complètement une des petites boules b. Comme N inter B(x,;)R) = {x}, N inter b = {x} aussi et donc les autres éléments y de N ne peuvent pas être dans cette boule b.

Comme il y a C^n petites boules il ne peut donc y avoir au plus que C^n éléments dans N.
Donc |N| <= C^n < C^(2-log;)/log2) = C²/;)^(logC/log2)

(la réciproque est immédiate)

Super!! Impeccable ,merci beaucoup. Pour info, le plus petit alpha qui intervient dans l'inégalité est appelé dimension d'Assouad de l'espace métrique X.

par **zygomatique** » 25 Fév 2015, 20:48

Doraki a écrit:Bon j'arrivais pas à dormir, et en fait c'est moins compliqué que je ne le pensais.

Si t'as une boule B de rayon r dont le centre est inclus dans une boule b de rayon <= r/2, alors b est incluse dans B (inégalité triangulaire).

Du coup, tu prends un espace doublant de paramètre C, une boule B de rayon R et un R net N de cette boule.
Tu appliques la propriété suffisamment de fois pour recouvrir B par C^n petites boules de rayon R/2^n , de sorte que R/2^n <= R/2 (le plus petit n qui convienne est 1 - log /log 2 arrondi à l'entier supérieur)

Maintenant pour chaque élément x de N, x est dans une de ces C^n boules, et donc la boule B(x,;)R) contient complètement une des petites boules b. Comme N inter B(x,;)R) = {x}, N inter b = {x} aussi et donc les autres éléments y de N ne peuvent pas être dans cette boule b.

Comme il y a C^n petites boules il ne peut donc y avoir au plus que C^n éléments dans N.
Donc |N| <= C^n < C^(2-log;)/log2) = C²/;)^(logC/log2)

(la réciproque est immédiate)

donc en gros ce que je proposais .... :lol3:

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