Propriété de la mesure

[jujudu597]

Bonsoir,

Je suis en train de faire une démonstration mais il y a un détail que je ne comprend pas :

La propriété que je démontre est :
Soit () un espace mesuré.
alors tels que

Donc on écrit
Donc
Or
Donc

Jusqu'ici tout va bien.
Sauf que c'est écrit "quand on obtient une égalité équivalente en le retranchant des deux membres d'ou le resultat"
Donc en gros on obtient

Ma question dois etre étrange mais pourquoi faut-il que

[L.A.]

Rebonsoir.

Prenons des ensembles mesurables A, B, C. Si mu(A) est infini, alors mu(B), mu(C) ont beau prendre n'importe quelles valeurs, l'égalité mu(A) + mu(B) = mu(A) +mu(C) sera toujours vérifiée. Par contre si mu(A) est finie alors

mu(A) + mu(B) = mu(A) + mu(C)

implique forcément mu(B) = mu(C).

[adrien69]

Imaginons que la formule soit vraie pour , que vaut ?

Deux exemples avec des réponses différentes :
B=R A=R, la mesure étant celle de Lebesgue
B=R, A=[0, [ même mesure

[jujudu597]

Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses!

Donc si j'ai bien compris l'égalité est toujours vrai.
(car les valeurs de la mesure sont positive.)
Tandis que l'égalité n'as de sens que si est fini.

[jujudu597]

Je suis vraiment désolé mais j'ai encore une question du même type!

C'est sur un exemple de mesure.

Si les sont des mesures finies sur et si est une suite de réels positifs, la fonction définie par est une mesure sur

La démonstration n'est pas compliqué mais je ne comprend pas pourquoi les mesures doivent être finie!

Aussi pour montrer la additivité, il est écrit on utilise la "propriété de sommation par paquets dans . De quoi parle t'il?

En général, on ne peut pas "échanger" deux sommes dans chaque cas?

[mrif]

Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses!

Donc si j'ai bien compris l'égalité est toujours vrai.
(car les valeurs de la mesure sont positive.)
Tandis que l'égalité n'as de sens que si est fini.

Quand on écrit dans R: a = b + c entraine a - b = c, cela sous entend que (R ,+) est un groupe donc chaque élément admet un opposé. En ajoutant l'opposé (-b) de b aux 2 membres de la 1ère égalité on obtient la 2ème égalité.

et ne font pas partie de R et si on prolonge R en lui ajoutant ces 2 éléments, l'ensemble obtenu n'est plus un groupe pour l'addition, puisque n'a pas d'opposé.

[jujudu597]

Ah c'est encore plus claire maintenant! Merci beaucoup!

Pas d'idée pour mon problème de mesure finies?

[mrif]

Ah c'est encore plus claire maintenant! Merci beaucoup!

Pas d'idée pour mon problème de mesure finies?

Les mesures doivent être finies car si un des est nul, on ne sait pas calculer le produit de 0 par .

Sommation par paquet cela veut dire que si tu as la somme a+b+c+d+e tu peux calculer par exepmle les paquets a+b+e et c+d et la somme initiale est égale à la somme de ces 2 paquets.
Pour une sommation infinie cette propriété n'est vraie que si tous les termes de la somme sont positifs.

[jujudu597]

je vais y réfléchir alors!
Mille merci :)

[jujudu597]

Bon alors si j'ai bien compris, le fait que les mesures doivent etre finis sert deja dans la définition de la fonction, sans ça, elle n'a pas se sens!
Jspr que c'est bon ^^

[jujudu597]

Pour une sommation infinie cette propriété n'est vraie que si tous les termes de la somme sont positifs.

Ou puis-je trouver cette propriété? Je ne la trouve nul part

[mrif]

Ou puis-je trouver cette propriété? Je ne la trouve nul part

Voici un site d'intégration:
http://www.licence.math.upmc.fr/telecharger.php/LM363-cours-2006-2007.pdf?path=UE/LM363/fichiers/0/4

Tu trouveras ce résultat en page 3 dans la partie: "Quelques resultats utiles sur les series" et surtout le (7).
Ce que j'ai affirmé n'est pas tout à fait exact, à remplacer par: "Pour une sommation infinie cette propriété est vraie si tous les termes de la somme sont positifs."

[jujudu597]

Merci beaucoup pour ce cours très clair!

Il est écrit
"En general, l'ordre dans lequel on considere les termes d'une serie est important. En
effet il existe de nombreux exemples de suites et de bijections v de dans lui même pour lesquelles converge alors que diverge, ou converge vers une somme différente. "

Auriez vous un exemple de ceci?

[Ben314]

Salut,
L'exemple qui (a mon sens) est le plus "parlant" est celui de la série où .
Prise dans l'ordre "normal", c'est à dire sous la forme , la série converge vers (il suffit d'appliquer une des formules de Taylors avec reste pour le montrer).
Par contre, si on fait la somme uniquement des termes positifs (donc les ) la somme tend vers et la somme des termes négatifs (donc les ) tend vers .
Supposons maintenant que l'on prenne un réel absolument quelconque.
S'il est positif, on ajoute les termes positifs de la série en les prenant un par un jusqu'à ce que l'on dépase L (ce qui finira par arriver vu que la somme des termes positifs vaut +oo) puis on ajoute les termes négatifs de la série en les prenant un par un jusqu'à ce que l'on repasse en dessous de L (ce qui finira par arriver vu que la somme des termes négatifs vaut -oo) puis on réajoute des positifs (en commençant par le premier "non utilisé") jusqu'à repasser au dessus de L, puis des négatifs, etc etc etc.
Il est assez façile de vérifier que :
1) En procédant de la sorte on finit par "utiliser" une fois et une seule chacun des termes de la série, c'est à dire qu'en fait on a fait un truc du style où est une bijection de dans .
2) La nouvelle série obtenue converge vers L (qui rappelons le était... quelconque...)

[adrien69]

Mieux ! C'est un théorème de Weierstrass sur les séries semi-convergentes. Pour une preuve (à faire soi-même), voir ça :
https://www.google.co.uk/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CC4QFjAB&url=http%3A%2F%2Fmatexo.emath.fr%2Fexemaalt%2Fexos_individuels%2Fpdf_imprimable%2Fconvergence-commutative.pdf&rct=j&q=changer%20l'ordre%20de%20sommation&ei=b6wIU_SdHumQ0AW0kYDoBA&usg=AFQjCNF_2cmK4vVF990ZYK8Er0ItgT7yQw&sig2=u7c23cZ_zqTYnj8SMtg8Vw&bvm=bv.61725948,d.d2k



Le pincipe c'est que tu sépares les termes de la suite que tu sommes en positifs et strictement négatifs, c'est semi-convergent donc il y en a un nombre infini pour les deux (semi-cv mais pas absolue), en plus des deux côtés ça tend vers 0, car converge.
Ensuite tu te donnes un nombre, disons -2,7.
Tu pioches dans les négatifs jusqu'à dépasser 2,7 en valeur absolue, puis tu pioches dans les positifs pour remonter au-dessus, dès que tu es passé au-dessus, tu redescends avec les négatifs etc.
Et tu construits ton changement de sommation comme ça. Après y a plus qu'à prouver que ça marche.

[jujudu597]

Ben314, j'ai compris mais c'est très tordu xD mais ça reste très intéressant merci beaucoup! Donc même quand les termes d'une suite sont dans R, l'ordre de sommation est important!

[jujudu597]

adrien69 je ne trouve pas le site que tu as envoyer

[adrien69]

Façon je me suis planté, c'est Riemann, pas Weierstrass !

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_r%C3%A9arrangement_de_Riemann

[jujudu597]

Ah merci beaucoup!
C'est quand meme fou je trouve!