à propos de (1+rac(2))^n

par **marc16** » 02 Nov 2008, 15:00

Bonjour,

Depuis plusieurs jours, je sèche sur l'exercice suivant:

1) Montrer qu'il existe une suite

d'entiers tel que:

2) Exprimer

en fonction de n.

La relation marche pour les petites valeurs de n.

Faut-il procéder par récurrence?

Avec le binôme de Newton en distingant les cas n pair, n impair?
mais je n'arrive pas à conclure.

Merci pour vos conseils.

par **ThSQ** » 02 Nov 2008, 15:21

En fait p_n+1 est le carré d'un entier = a(n)²

Montre qu'on a un truc style a(n+2) = A * a(n+1) + B * a(n) pour A et B que je te laisse trouver ;)

Tu peux aussi regarder du côté de (1 - sqrt(2)) ^n mais ça doit pas être l'esprit de ton exo.

par **mathelot** » 02 Nov 2008, 15:50

Bjr,

une autre piste que celle proposée par ThSQ (salut)

et

sont deux nombres réels inverses l'un de l'autre.

Avec un peu de quantité conjuguée, on a nécessairement:

reste à montrer que cette quantité

a bien les propriétés requises (entier+l'égalité)

par **marc16** » 02 Nov 2008, 16:14

Bonjour,

Merci pour le coup de main mais je n'arrive pas à avancer beaucoup plus
pouvez-vous encore m'éclaircir les idées

merci

par **ThSQ** » 02 Nov 2008, 16:21

mathelot a écrit:une autre piste que celle proposée par ThSQ (salut)

Salut à toi aussi moussaillon

C'était ma deuxième suggestion mais vu la deuxième question .....

par **mathelot** » 02 Nov 2008, 16:29

mathelot a écrit:

a)

est un entier naturel, comme on le voit en développant le binome de Newton.

b)

mais:

on connait la somme et le produit de ces nombres.
A quoi ça fait penser ?
à

, pas vrai ?

est la racine positive de

par **mathelot** » 02 Nov 2008, 17:02

ThSQ a écrit:Salut à toi aussi moussaillon

C'était ma deuxième suggestion mais vu la deuxième question .....

j'adoooooore cet exo.

:zen:

:ptdr: :ptdr:

par **mathelot** » 02 Nov 2008, 17:21

c'est bizarroïde cette intrusion de la trigo hyperbolique.
j'aurai bien vû débarquer du

par **mathelot** » 02 Nov 2008, 17:33

marc16 a écrit:Bonjour,

Merci pour le coup de main mais je n'arrive pas à avancer beaucoup plus
merci

pose des questions...

ThSQ a écrit:En fait pn est le carré d'un entier = a(n)²

si n est impair ? avec mes formules (exactes) je trouve

par **marc16** » 02 Nov 2008, 18:26

Merci pour vos lumières, le ciel s'éclaircit même à cette heure!!!

L'expression de p(n) avec rac(2) doit convenir.Je regarde dans le détail si p(n)vérifie les conditions.

par **mathelot** » 02 Nov 2008, 18:44

re,

on a trouvé

on pose pour les rangs impairs

ça donne

q1=1,q2=7,q3=41,q4=239,q5=1393,q6=8119

la suite est référencée
[url=http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=1%2C7%2C41%2C239%]içi[/url]

on pose pour les rangs pairs

ça donne

r1=2,r2=12,r3=70,r4=408,r5=2378,r6=13860

là

par **ThSQ** » 02 Nov 2008, 18:57

mathelot a écrit:si n est impair ? avec mes formules (exactes) je trouve

Ouais typo, c'est pn+1 qui est un carré. :marteau:

par **mathelot** » 02 Nov 2008, 19:03

ThSQ a écrit:Ouais typo, c'est pn+1 qui est un carré. :marteau:

d'après mes vérifs,

et

sont des carrés parfaits alternativement.

euh , pour ta récurrence, tu pourrais me donner un indice ? :hum:

par **lapras** » 02 Nov 2008, 19:46

salut

En passant au conjugué,

en sommant :

donc

Soit a_n une suite d'entiers telle que :

En passant à l'équation caractéristique (si tu ne connais pas, il faut passer par les matrices, ou faire une récurrence inélégante...) :

Par récurrence

est pair
donc

p_n est donc bien le carré d'un entier
soit

donc

En passant à l'équation caractéristique :
(car

)

Or

d'où le résultat

par **mathelot** » 02 Nov 2008, 20:31

lapras a écrit:
En passant au conjugué,
<--- c'est faux

Lapras, je relève deux erreurs:

a) la formule n'est pas

mais

b) on ne passe pas au conjugué mais à l'inverse. Il y a une erreur de signe.

En passant à l'inverse (puis en conjuguant):

par contre, la méthode est bien: reconstituer l'équation
caractéristique puis la récurrence.

La formule exacte n'est pas celle que tu as écrite.

lapras a écrit:
p_n est donc bien le carré d'un entier

ben non, on a vu que

par **mathelot** » 02 Nov 2008, 20:47

Les formules (justes) donnent une réalité plus complexe:

si n est impair ,

est un carré parfait
au rang suivant,c'est

qui est un carré parfait:

pour les enseignants de collège qui nous lisent,
merveilleuses vérifications à faire faire aux élèves de troisième !

par **lapras** » 02 Nov 2008, 21:01

Alors j'ai mal lu l'énoncé !
J'ai lu

...
Ce qui change tout avec

Mon erreur de signe change toute ma démonstration apprement ! :marteau:

par **mathelot** » 02 Nov 2008, 21:12

mathelot a écrit:

pour les enseignants de collège qui nous lisent,
merveilleuses vérifications à faire faire aux élèves de troisième !

En classe de troisième, tu fais développer

deux fois avec l'identité

et simplifier la somme

qui comporte deux entiers avec des facteurs carrés.
et tu conclues avec la transitivité de l'égalité.

par **yos** » 02 Nov 2008, 22:05

Bonjour à vous tous.
Je voulais apporter un point de vue qui est pas forcément dans ce qui précède :

avec

et

entiers.
On montre aisément que

avec les mêmes entiers

et

.
En multipliant membre à membre, on trouve

,
Donc en posant

ou

selon la parité de n, on a la relation voulue.
Les entiers

et

se calculent explicitement donc

aussi.

par **mathelot** » 02 Nov 2008, 22:37

yos a écrit:Donc en posant ou selon la parité de n, on a la relation voulue.
Les entiers et se calculent explicitement donc aussi.

euh,

ou

mais qu'est-ce qu'ils ont tous ce soir ? :doh: :zen:

à propos de (1+rac(2))^n