Projection et projeté

[MacManus]

Bonsoir

J'ai un petit exercice concernant la caractérisation d'une projection orthogonale.
Soit E = C([0,1],R) l'espace vectoriel des applications continues de [0,1] dans R, muni du produit scalaire (,) suivant :

,

On note F le sous-espace de E formé des polynômes de degré inférieur ou égal à 1.

1/ Pour tout fE, donner la caractérisation de sa projection orthogonale sur F.

2/ Soit gE définie par g(x) = x². Déterminer le polynôme P projeté orthogonal de g sur F.


1/ Les sous-espace F et sont en somme directe, et . Donc un élément f de E se décompose de manière unique : .
Donc le produit scalaire suivant est nul : , cad :

Est-ce vraiment ça caractériser la projection orthogonale de f sur F ?
Pour la question 2) je peux utiliser la formule de cette même caractérisation non ?

Merci beaucoup pour votre aide!

[yos]

et ça suffit non?

[MacManus]

Oui c'est correct et je pense que c'est suffisant...mais comment puis-je utiliser l'expression du produit scalaire pour déterminer , projeté de g(x) = x² sur F ??

[yos]

Plusieurs méthodes :

1) Prends une BO de F : (1,P) avec P(X)=aX+b, a et b convenables.
puis projette sur 1 et sur P : et sont les coefs cherchés.

2) Ecris simplement et le fait que le produit scalaire de avec ut+v est nul pour tous u,v (en fait il suffit de l'écrire pour u=0,v=1 puis u=1,v=0.

Les deux méthodes doivent se valoir.

[MacManus]

Merci Yos !

Pour la 1ère méthode, comment trouver/justifier les valeurs de a et b ?? (même si par la suite je trouve les intégrales qui correspondent aux coefficients(en fonction donc de a et b pour la deuxième intégrale))

Pour la 2ème méthode, si j'écris le produit sclaire < t²-at-b , ut+v > pour u=0,v=1 et u=1,v=0, je ne trouve toujours pas les valeurs prises par a et b....

merci pour ton aide