Projectifs 2

[bankai]

Soit E un R-espace vectoriel euclidien de dimension n; Son produit scalaire sera noté <.,.> et la norme associée ||.||
Soit X= E-{O}, on pose:
p: R*x X ->X : (A,x) |-> Ax
Notons P(E) l'espace X/R* l'espace des orbites de p et Pi:X->P(E) la projection canonique associée.

Question: Soit u:E->E un élément de GL(E), vérifier que u(X)=X et qu'il existe une unique bijection ù:P(E)->P(E) rendant cohérant le diagramme suivant:

u Pi ù
X---->X, X--->P(E), P(E)--->P(E)

(diagramme en carré)

Vérifier que chaque bijection ù est en fait un homéomorphisme. Monter que l'application T:GL(E)->Homéo(P(E)) : u |-> ù est un homomorphisme de groupe et que Ker(T) est le groupe des homothéties inversibles de E...

[yos]

Bonjour!

Pour la première question, tu montres que deux éléments x, y de X appartenant à une même classe modulo R* ont des images par u qui appartiennent aussi à une même classe (orbite). Cela te définira ù naturellement. Pour la commutativité du diagramme, il suffit ensuite de l'écrire.

[bankai]

pour montrer que ù est un homéomorphisme j'ai utilisé le fait que P(E) est un espace topologique compact et séparé, comme ù:P(E) ->P(E) et est une bijection alors ù est un homéomorphisme...?

(tout partie fermée de P(E) est un compact, comme P(E) est séparé, l'image par ù d'une partie fermée de P(E) est un compact a fortiori une partie fermée de P(E) donc ù est une application continue bijective fermée)..

par contre pour l'existence de ù je ne vois pas du tout...

il est clair que u(X)=X car u est un élément de GL(E) mais aprés je ne vois pas comment faire même avec l'indication ...

[yos]

J'ai mopdifié un peu mon précédent message. J'avais écrit un peu vite un truc inexact.
Donc tu prends deux vecteurs x et y de X qui appartiennent à une même orbite pour l'action de p.
Tu traduis cela en utilisant la définition de p (celle que tu indiques dans ton premier message me semble louche : tu peux vérifier?).
Tu en déduis que u(x) et u(y) sont aussi dans la même orbite.
Finalement, on peut considèrer que u n'agit pas sur X mais sur ses orbites. C'est ce que l'on note ù.

Pour la partie topologie je te suis encore moins.

[bankai]

j'ai modifié la définition de p ,c'est vrai il y avait une petite erreur.
Pour la definition de l'homéomorphisme, si on a une application bijective continue qui part de X dans Y, et que X est un compact et Y est séparé alors cette application est un homéomorphisme...

P(E) rempli tous les critére ci-dessus donc ù est un homéomorphisme non?

[yos]

j'ai modifié la définition de p ,c'est vrai il y avait une petite erreur.

Avec ça c'est bon : x et y dans la même orbite signifie que y=Ax pour un certain réel A et donc par linéarité de u, u(y)=Au(x), donc u(x) et u(y) sont dans la même orbite.
On peut donc définir ù par .

Pour la definition de l'homéomorphisme, si on a une application bijective continue qui part de X dans Y, et que X est un compact et Y est séparé alors cette application est un homéomorphisme...

P(E) rempli tous les critére ci-dessus donc ù est un homéomorphisme non?

Je pense que c'est bon , mais dans l'autre message tu semblais mettre la continuité de ù dans les conséquences et ici tu t'en sers (d'où vient que ù est continue?)

[bankai]

J'ai réussi à montrer que T est un homomorphisme mais par contre je bloque sur Ker(T)...

[yos]

.
La dernière condition signifie que et sont colinéaires pour tout x de X. C'est une caractérisation classique des homothéties ( et on montre assez facilement que le scalaire ne dépend pas de x).