Produit tensoriel 1

[mona123]

bonjous, pouvez vous s'il vous plait m'aider à terminer la resolution de cette question:
soit K un corps commutatif, V et W deux K espaces vectoriels,v,v';)V,w,w';)W.on suppose v#0 et w#0.montrer que
v w=v' w';) V;)T W si et seulement s'il existe a K* telque v'=av et w'=a-1w
tout ce que j'ai pu faire est que v' w'=av a-1w=aa-1 v;)w=v;)w
mais je n'ai pas pu faire l'autre sens .pouvez vous m'aider 'il vous plait.
merci en avance

[L.A.]

Bonjour,

on peut supposer que V et W sont de dimension finie (quitte à se restreindre aux sev engendrés par v, v', w, w'), considérer des bases (e_1=v,e_2,...,e_n) et (f_1=w,f_2,...,f_m) et écrire v', w' en coordonnées.