Produit scalaire et projection...

[Als128]

Bonsoir,

LE titre de l'exercice est le titre du sujet. Les premières questions sont simples :
On pose
pour E ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R. On pose dans ExE:




1) Montrer que ques ces applications sont definies et sont des formes bilinéaires symetriques
2) montrer que phi(1) et Phi(2) definissent un produit scalaire
3)Soit Determiner la fonction du second degré la plus proche de g au sens de la norme associé à phi(2)


Quelqu'un aurait il l'amabilité de m'expliquer ce que signifie "la fonction la plus proche de g au sens de la norme" ? Est ce que ça veut dire qu'il faut trouver h tel que ||g-h|| soit negligeable ?
Si oui, est ce que ça veut dire qu'il faut calculer l'intégrale en fonction de (a,b,c) ?

[Ben314]

Est ce que ça veut dire qu'il faut trouver h tel que ||g-h|| soit negligeable ?

Non, pas négligeable (en plus je vois pas trop ce que cela voudrait dire), simplement le plus petit possible.
Donc la méthode "à la bourrin" consiste effectivement à calculer ||f-g|| en fonction de a,b et c puis de chercher quelles sont les valeurs de a,b et c qui minimisent cette quantité.

Une méthode un peu plus subtile est d'utiliser la notion de projection orthogonale sur un sous espace vectoriel dans un espace (pré)hilbertien...

[Als128]

Comme dans le titre de l'exo... :-) Merci du conseil!

[Ben314]

Pour la deuxième méthode, je pense que tu as du voir que ton problème revient à écrire g=h+k avec h=ax²+bx+c dans F (ensemble des polynômes du second degrés) et k dans l'orthogonal de F.

Que se passe t'il ensuite si on fait le produit scalaire de h avec les éléments d'une base de F (par exemple avec 1, x et x²) ?
Réponse : on obtient un système de 3 équations à trois inconnues...

Tu pourrait aussi chercher une base orthonormée de F (par exemple en partant de la base (1,x,x²) puis en utilisant Gramm-Schmidt).
Ca serait interessant si tu voulait une formule explicite donnant le projeté de n'importe quelle fonction mais ici, pour une seule fonction, ça risque d'être plus long...

[Als128]

C'est marrant c'est ce que j'allais poser comme question. En fait pour être sur de pas faire des calculs dans le vent :
On cherche bien h tel qu'il soit le projeté orthogonal de g ? C'est à dire que pour tout f dans E, g-h est orthogonal à f... Et à fortiori pour f=1,x,x^2 ?

C'est good ?

[Ben314]

C'est exactement ça : on prouve que c'est lui qui minimise la distance comme dans le plan, c'est à dire à l'aide de pythagore "version moderne" c'est à dire