Problèmes concernant l'Algebre L1...

[Syphax]

Bonjour,

J'ai un problème concernant la résolution du système suivant :

x - y + z = 0
x + y - z = 0

En déterminant la matrice associée à ce systeme, on trouve que son déterminant est nul : il y a donc soit aucune soit une infinité de solutions. Apres manipulation du système, on trouve qu'il y a une infinité de solutions.

Mais mon problème, c'est qu'à chaque fois que je résout ce type d'exercices je n'arrive pas à montrer que l'ensemble des solutions est soit un plan soit une droite.

Donc si vous avez une méthode ou des indications, j'aimerai bien les connaitre ;)


Merci !


EDIT : Autre problème :/
1
Soit M la matrice (1 2 3) et x = 2
(3 2 1) 3

Montrez que tout vecteurs de R² possède un antécédant par M (M surjective)

[Dlzlogic]

Bonjour,
Ce système peut être l'équation d'un plan qui pourrait par exemple s'écrire
z=f(x,y) ; mais aussi x=f(y,z) ou y=f(x,y)
Je ne vois pas très bien où il y a une matrice là. Une matrice est une représentation d'une application, par exemple, une rotation.

[Syphax]

Oui désolé, je viens de me rendre compte que je l'ai mal tapée.
1 2 3
3 2 1


et x :
1
2
3

[Dlzlogic]

Je ne répondais qu'à la première question.

[Syphax]

Ah oui, c'est vrai, c'est impossible de calculer le déterminant, ce n'est pas une matrice carrée :/.

J'ai vérifié, on obtient bien une droite.

Merci .

[Skullkid]

Salut, je suis étonné que tu aies réussi à calculer le déterminant de la matrice associée à ton système, sachant que cette matrice est une matrice 2x3...

Pour le reste, tu es en présence d'un système homogène, c'est-à-dire de la forme AX = 0, donc il a forcément au moins une solution : X = 0. De plus, tu n'as que 2 équations pour 3 inconnues, donc l'ensemble des solutions sera soit un plan, soit une droite. Ce sera un plan si et seulement si les deux équations de ton système sont linéairement dépendantes (c'est-à-dire que l'une est égale à k fois l'autre, avec k un scalaire, ou, en des termes plus pédants que tu ne connais peut-être pas encore, si le rang de A est égal à 1). Ici, ce n'est pas le cas, donc l'ensemble des solutions est une droite.

Pour le démontrer rigoureusement, il est souvent utile de choisir une (ou plusieurs) des inconnues et d'en faire un paramètre, c'est-à-dire d'exprimer les autres inconnues en fonction de celle-ci, ça explicite la nature de l'espace des solutions (si tu n'as qu'un paramètre, c'est une droite, si tu as deux paramètres, c'est un plan, etc). Par exemple, le système formé par y = 7x et z = 2x a clairement pour ensemble de solutions la droite dirigée par (1,7,2).

Pour ton deuxième exo, prends un vecteur quelconque de R² et essaye de lui construire un antécédent par M.