Probleme (tartaglia)

[juju123]

soit une equation dans C
z^3+pz+q=0 (1) avec p et q reels
question
soit z une racine on pose
u+v=z
uv=-p/3

a/justifier que l on peut trouver u et v si l on connait z et
montrer que u3et v3 sont alors racines de
X^2+qX-p^3/27=0 (2)
b/reciproquemnt soit z1 et z2 les racines de (2) montrer que l on peut trouver une racine cubique u de z1 et une racine cubique v de z2 telles que uv=-p/3 (on distingiuerra 2 cas suivant le signe de 4p^3^+27q^2
c/puis endeuire le signe de 4p^3+27q^2 et discuter le nobre de racines reelles de (1)

2/Enfin appliquer a la resolution de az^3+bz^2+cz+d=0 et z^3-12z-16=0 et z^3-15z-4=0 (je pense que c'est simple une fois qu on a compris la premiere partie :id: )

alors la je comprends pas trop quelqu'un peut il m'expliquer l'exercice en plus je crois que pour la a/ jai compris mais j'arrive pas a les calculer :marteau:

je vous remercie de toute aide :mur: :mur: :mur:

[Quidam]

a/justifier que l on peut trouver u et v si l on connait z

Ca, c'est un jeu d'enfant : si l'on connait la somme (S=u+v) et le produit (P=uv) de deux nombres, il suffit de résoudre l'équation pour trouver ces deux nombres ! Tu connais S et P (donnés par l'énoncé), donc, tu peux calculer u et v dès l'instant que tu connais z, OK ?.

montrer que u3et v3 sont alors racines de X^2+qX-p^3/27=0

Si u+v=z alors . Alors ton équation devient :



Comme de plus uv=-p/3, ça donne :





Tu connais donc la somme -q de u^3 et v^3, ainsi que le produit -p^3/27 de u^3 et v^3...
Allez, termines ...

[tize]

Attention ! Multipost; regarde le sujet intitulé "Polynômes du troisième degré." posté par GoG

[juju123]

merci quidam et desole tize mais je pense que mon post aller un peu pplus loin que l autre exercice

mais je patoge toujours pour les questions d'apres quidam t'as pas d'idee parceque deja grace a toi jai reuusi a comprendre les 2 premieres questions :id: :id: :id:

[juju123]

euh une petite question j 'ai remplacer dans l equation pour la seconde question et j 'arrive a X^2 +qX-p^3/27
mais je vois pas trop en quoi ca montre que u^3 et v^3 sont racines?????
c parcequ'en faisant ce que tu ma dis en a/ je tombe sur leurs equations??? :doh:

[Quidam]

euh une petite question j 'ai remplacer dans l equation pour la seconde question et j 'arrive a X^2 +qX-p^3/27
mais je vois pas trop en quoi ca montre que u^3 et v^3 sont racines?????
c parcequ'en faisant ce que tu ma dis en a/ je tombe sur leurs equations??? :doh:

Je ne comprends pas ce que tu ne comprens pas !

Il existe un théorème (appris en première) qui dit que si la somme de deux nombres est S et leur produit est P alors les deux nombres sont les racines de l'équation .

D'autre part, si tu as oublié le théorème, tu peux toujours le retrouver !
Trouver a et b sachant que a+b=S et ab=P !
b=S-a
a(S-a)=P
aS-a²=P
a²-aS+P=0

Ceci montre bien que a est racine de l'équation X²-SX+P=0.

Et tu peux faire exactement la même chose pour b !

Bon !

Maintenant tu sais que et que . Alors il en résulte que et sont forcément les solutions de l'équation

La résolution d'une équation du troisième degré est un peu délicate, en ce sens qu'il faut être très attentif, analyser plusieurs cas, etc... Mais elle n'est pas difficile !