Un problème sur les suites

[Herz]

Bonjour, j'ai un exercice qui me parait un peu dur pour moi, pouvez vous m'aider a le résoudre svp?

Pour N € N*;on note S(n) la somme des chiffres de l'entier n (ainsi S(2006)=8, S(100)=1, S(239)=14 ....) .

1/ Montrer que pour tout n de N*, on a : S(n+1)
2/ Soit A = { S(n+1)/S(n) ; n€N*} . Montrer que A est bornée et déterminer sup(A) et inf(A) .



Pour le 1/ j'ai essayé une démonstration par récurence mais ca a rien donné (enfin j'ai surement faux) .

Est ce qu'il y a du monde pour m'aider svp? :cry:

[redwolf]

Bonjour.

Distingue le cas où il y a une retenue (dans l'addition n+1) et le cas où il n'y en a pas.
Le deuxième cas est plus facile car S(n+1)=S(n)+1.
Pour le premier, écris en écriture décimale. Il existe un tel que et . Tu n'as plus qu'à écrire S(n) et S(n+1) avec ces notations.

Pour la deuxième question, c'est plus facile.

[El_Gato]

1- Tu peux faire une récurrence, non pas sur n, mais sur la longueur de la chaîne de caractères représentant n en base 10.
Ecrivons un entier n sous la forme et faisons une récurrence sur toutes les chaines de caractères de longueur p +1.
Pour p = 0, on a et dans ce cas S(n+1) = S(n) + 1 sauf si auquel cas n+1 = 10 donc pour p =0.

Supposons que cela soit vrai sur toutes les chaînes de caractères de de longueur p +1 et considérons une chaîne arbitraire de longueur p+2: . Il faut alors inspecter les cas. Tu vois rapidement que le seul qui est spécial est celui pour lequel il y a propagation de la retenue sur toute la chaîne: 99...9.

Ainsi, dans tous les cas, .

[Herz]

Merci c'est sympa de m'aider ^^ je vais maintenant relire attentivement ta réponse et essayer de me débloquer ... merci du coup de main !