Problème - Matrices

[benekire2]

Bonsoir,

Ce matin , j'ai fais un exo (j'avais le temps) , ou plutôt un problème vu que c'est relativement "long", j'ai décider de passer les questions lorsque je n'y arrivais pas après un temps "raisonnable" de réflexion, je vous donne le sujet en complet :

Partie I - Matrices à ceofficients entiers

1. Montrer que l'ensemble des matrices carrés de taille 2 à coefficient dans Z est un anneau.
2.
a. Démontrer que l'ensemble des éléments de inversible dans est un groupe pour la multiplication, appelé le groupe des unités de l'anneau .
b. Montrer que si et seulement si
3. On pose
a. Montrer que c'est un groupe pour la multiplication des matrices.
b. Déterminer l'ensemble des couples tels que
c. Déterminer l'ensemble des couples tels que
d. A quelle condition nécéssaire et suffisante sur le couple pour qu'il existe une matrice appartenant à

Soient S et T les matrices et .

Partie II - Résaux de

Soit Soit B=(a,b) une base de C comme R-ev, on appelle réseau engendré par B l'ensemble

1.
a. De quelle structure algébrique est-il doté ?
b. Démontrer que tout réseau peut être engendré par une base B(a,b) tel que
c. Démontrer que pour a,b,c,d entiers et z complexe tel que cz+d différent de 0 on a :

2. Démontrer que deux basent B=(a,b) et B'(a',b') engendrent le même réseau si et seulement si il existe tel que
3. On considère un réseau engendré par une base B=(a,b) telle que a/b soit dans H. Déterminer l'ensemble des tels que B'=(a',b') avec a'=3a+5b et b'=ca+db engendrent le même réseau
4. Soit k un complexe non réel, , on note le réseau formé par la base (1,k). Déterminer une CNS pour que vérifie

Partie III - Action du groupe modulaire \Gamma des homographies associées à sur l'ensemble

A toute matrice on associe l'application g: H -> C définie par -->

1.
a. Montrer que G(H) est inclus dans H. On identifie dorénavant g à l'application de H dans lui même qu'elle induit.
On s'intéresse à la surjection G de SL2(Z) dans qui envoie A sur g.
b. Montrer que G(A)oG(A')=G(AA') et en déduire que la composition est une loi interne sur \Gamma
c. Pour tout A de SL2(Z) montrer que G(A) est une bijection de H sur H et que elle admet pour inverse
d. Déterminer Ker(G)
e. Résoudre G(A)=G(A'). Le groupe (, o) est il commutatif ?
2. Soit s l'application associée à S i.e s=G(S) , déterminer l'image par s d'un cercle inclus dans H.
3.
a. Donner l'image par s d'une droite incluse dans H.
b.Trouver l'image d'une demi droite {x=a , y >0 } incluse dans H
4. On introduit soit t l'application associée a T. Représenter graphiquement l'ensemble F et ses images t(F) et par t et
5. On note J le sous groupe de engendré par l'ensemble {s,t}. Soit élément de H.
a. Montrer que pour tout g de J, il existe un élément de J tel que pour tout ,
b. On pose Démontrer qu'il existe un entier m tel que
c. Vérifier que et conclure que .
6. Démontrer que si et si pour un élément avec on a alors
En déduire que
Indication. Considérer un tau intérieur à F et son image par une application g.






Pour la partie 1 ça va c'est un problème qui commence doucement ... Pour la partie 2 j'ai aussi tout fait , par contre c'est à la partie 3 que "ça devient intéressant" .
Pour la question 1 tout roule (meme si j'ai mis du temps pour montrer la non commutativité :marteau: ) pour la question 2 , j'ai l'équation générale d'un cerlce de centre a€C de rayon R>0 qui soit inclus dans H (R<Im(a)) mais je n'ai rien de plus, alors j'ai abandoné.
Question 3 : Idem, emêler dans les calculs j'ai préféré passer ,
4. no problem,
5. comme j'ai pas "capté" comment j'allais faire dans la a , j'ai fais la b bien que j'ai mis un moment "à voir l'évident" et puis pour la c suivan la même "astuce" j'ai tricoté jusqu'au résultat ...
6. ... Flop total ....


Pouvez vous m'aider à résoudre les question que je n'ai pas su faire ?

Je vous remercie !

[Ben314]

Salut,
J'ai déjà un soucis avec le 2) de la partie II : si la première base est B=(1,i) et que la deuxième est B'=(i,1), c'est quoi la matrice M de SL2(Z) telle que B'=M.B ?

Pour le III) 2) et 3), une "astuce" assez fréquente dans des cas comme celui là est de dire que l'image directe d'un cercle (ou d'autre chose) par s, c'est l'image réciproque par s^{-1} : il est beaucoup plus simple d'évaluer l'image réciproque d'une courbe ont on connait une équation que son image directe du fait que ça se résume à composer deux fonctions sans réfléchir.

[Doraki]

Pour la III.5.a), normalement t'as du montrer dans III.1.a) ou II.1.c) que Im(g(z)) = Im(z) / |cz+d|².

Donc, {Im g(z) ; g dans SL2(Z)} a un maximum <=> {|cz+d| ; g = (a b // c d) dans SL2(Z)} a un minimum

[benekire2]

Merci pour vos réponses!

Salut,
J'ai déjà un soucis avec le 2) de la partie II : si la première base est B=(1,i) et que la deuxième est B'=(i,1), c'est quoi la matrice M de SL2(Z) telle que B'=M.B ?

Non j'ai simplement oublié de dire que les bases considérés (a,b) doivent vérifier a/b€H .. et donc ça marche.

Doraki >> Merci, je regarderais en détail demain, là il est un peu tard .. :lol3:

[Ben314]

Je comprend pas là :

5...Soit élément de H.
a. ... tel que pour tout ...

le tau, il est fixé ou pas ?

[Doraki]

Aussi, t'es sur que dans la définition de ton F, c'est pas |;)| >= 1 au lieu de |;)| > 1 ?

[benekire2]

Ben , il faut plutôt lire "tau est ici élément de H , on ne le quantifie pas" , et sinon dans la définition de F c'est bien le sens large ..

Franchement désolé des erreurs de re-copiage, ça a été très long a recopier ! D'ailleurs j'ai limité le Latex petit a petit ...

[benekire2]

Bon, je reprend, maintenant que j'ai un peu plus de temps, merci ben pour "l'astuce" j'ai fini tout ce qui concerne les images, c'était en fait assez con, je posterais ma méthode après manger. Sinon, je réfléchis aux autres.

Merci doraki de l'aide, j'ai pu finnir cette question.

Quelqu'un pourrait-il m'aider pour la question III-6 ? Merci !