Problème de loi normale

[romaindecarie]

Bonjour. J'ai un problème de loi normale à faire.
Pour répondre aux questions il faut trouver la moyenne et l'écart-type avec les infos fournies. Je n'ai toujours pas réussi à trouver la moyenne. Mes calculs me donnent une moyenne négative. Pouvez-vous m'aider ? Voici l'énoncé :

Pour construire l’horaire du personnel, le gérant d’un restaurant a remarqué que le temps pris
par un client pour manger suit une loi normale. La probabilité pour qu’un client prenne plus de
80 minutes pour manger est de 0,3707 et la probabilité pour qu’un client prenne moins de 55
minutes pour manger est de 0,0918. On choisit un client de ce restaurant au hasard. Quelle est
la probabilité pour que ce client prenne :
a) plus de 70 minutes pour manger?
b) entre 50 et 65 minutes pour manger?
c) moins de 45 minutes pour manger?

[Frede]

Commençons par voir que les deux probabilités données par l'énoncé sont inférieures à 0.5, donc arrangeons-nous pour corriger ça.

Probabilité pour qu’un client prenne plus de 80 minutes pour manger = 0,3707
donc
probabilité pour qu’un client prenne moins de 80 minutes pour manger = 1 - 0,3707 = 0.6293
Ça va mieux: c'est un chiffre qui figure dans les valeurs de répartition de la loi normale centréé réduite.
C'est la probabilité de t<0.33

Probabilité pour qu’un client prenne moins de 55 minutes pour manger=0,0918
donc
probabilité pour qu’un client prenne plus de 55 minutes pour manger = 1 - 0,0918 = 0.9082
C'est aussi un chiffre qui figure dans les valeurs de répartition de la loi normale centréé réduite.
C'est la probabilité de t<1.33

Est-ce que ça te met déjà un peu sur la voie ?

La probabilité de la moyenne est de 0.500 pour des raisons de symétrie.
La probabilité de moins de 55 minutes est inférieure à 0.5 donc moyenne > 55 minutes
La probabilité de moins de 80 minutes est supérieure à 0.5 donc moyenne < 80 minutes

Pour le restaurateur, on a:
...........55 minutes..............la moyenne (à trouver).................80 minutes
............0.0918.........................0.500...................................0.6293
Pour la loi centrée réduite, on a
.........................................la moyenne (zéro).........................0.33.................1.33
..............................................0.500....................................0.6293..............0.9082

Visiblement 80 minutes correspond à 0.33 (même probabilité). Mais qu'est-ce qui correspond à 55 minutes ?
Rappel : F(-x) = 1 - F(x). Cette formule te permet d'avoir la probabilité de t< -0.33 et de t< -1.33. Les nombres négatifs n'ont rien d'absurde, ils veulent simplement dire qu'on est au dessous de la moyenne.

Je te laisse réfléchir un peu...

En regardant les chiffres, je me dis que la moyenne est beaucoup plus proche de 80 minutes que de 55 minutes, je pense donc que la moyenne doit être de l'ordre de 75 minutes. Mais je n'ai pas encore fait le calcul, je peux me tromper.