Problème de DL, ensemble de définition

[Jonny]

Bonjour à tous,

Je suis face encore une fois à mon éternel problème de développement limité... :mur:

1) Est-il illogique de chercher le DL en x0 d'une fonction indéfinie en x0 ? Exemple : en 0

2) On a le droit de faire le DL en x0 de f(x)/g(x) si g(x) n'est pas nulle en x0.
Pourtant je suis sûr d'avoir déjà vu diviser un DL par la fonction g(x)=x pour avoir un DL en 0. Qu'est ce qui est juste ou faux ?

3) Enfin, je vois sur un autre site :

On en déduit que la limite est -1/2 (limite en quoi, c'est pas précisé, je suppose en 0...)

Cette fonction n'est pourtant même pas définie en 0.. Et pourquoi aurait-on le droit de faire le quotient de ces deux DL, alors que tan(x)-x vaut 0 en 0.

Cet exemple va à l'encontre des 2 points évoqués plus haut en gros.

Merci d'avance =)

[nuage]

Salut,

1) Est-il illogique de chercher le DL en x0 d'une fonction indéfinie en x0 ? Exemple : en 0

non ce n'est pas absurde, mais ce n'est pas vraiment ce qu'on appelle en général un DL.

Pour reprendre ton exemple
C'est un développement de Laurent (si mes souvenirs sont bons)

[mathelot]

Bjr,

il semble que tu aies des souçis plus avec le prolongement par continuité
qu'avec les DL.


ex 1:

n'est pas définie en x=0 , mais se prolonge en une fonction g
définie sur , continue, indéfiniment dérivable
régulière,etc..
c'est à dire que la restriction de g à est f.

On voit que g admet un DL à tous ordres, et que le DL de g, au voisinage de x=0, est obtenu en divisant celui de f par .

Même chose pour l'exemple de Nuage:

est régulière (indéfiniment dérivable)


Noter aussi que certaines fractions rationnelles

coïncident avec des polynômes dans un sens que seuls des algébristes
pourraient correctement définir :zen:

[Jonny]

Merci de vos réponses :)

Pour le développement de Laurent, suis-je censé le connaître (je suis en MPSI) ?

En traçant sin(x)/x, je vois effectivement qu'elle se prolonge en 0.

A partir de là, je peux montrer que la dérivée à gauche est égale à la dérivée à droite, et que la limite de la fonction est la même en 0+ et 0-, et conclure sur la continuité ?

Concrètement ça donne quoi ? Je fais un DL et je constate que le premier terme c'est 1 donc lim0=1 et que le terme en dérivée première est nul donc lim0 f'x=0 ?
Mais je n'ai pas parlé de gauche et droite là, j'ai juste fait un DL ?

Et j'en reviens à mon 2), pourquoi a-t-on le droit de diviser par x ? Dans tous mes cours je lis que je peux diviser par f(x) ssi f(x) non nul au voisinage de 0.

Le chapitre est bouclé depuis longtemps, mais je vois bien que j'ai encore besoin de le bosser, même s'il n'est plus "rentable" en terme de notes -_- :briques:

EDIT : Comment trouver le DL en 0 de 1/sin(x) par exemple ? Merci ^^

[mathelot]

re,

si


f et g sont localement deux fonctions polynomiales,
h est localement une fraction rationnelle,

on simplifie.

[Jonny]

Merci, je crois que je viens de saisir une subtilité, arrêtez moi si je me trompe :

- Si g ne s'annule pas en 0 on peut faire le DL de f/g en 0 en divisant termes à termes les coefficients selon les puissances croissantes :

Exemple :si et
Alors

Dans ce cas je ne peux avoir qu'un DL1 car je n'ai pas assez de termes sur g, il me faudrait un ordre supérieur.

- Si g s'annule en 0, alors nécessairement son DL démarre à un monôme de dégré supérieur ou égal à 1. Si celui de f aussi, on écrit le quotient des DL, et on a le droit de simplifier.

J'ai bon ? =)

[mathelot]

:

- Si g ne s'annule pas en 0 on peut faire le DL de f/g en 0 en divisant termes à termes les coefficients selon les puissances croissantes :

Exemple :si et
Alors

je ne pense pas.

Concernant le dénominateur et les DL, pour faire simple, le "seul" DL
que l'on connaisse est






Dans l'exemple que tu donnes, on arrange ainsi le dénominateur:
on factorise par 2:



et on développe en posant

[Jonny]

Oui, je ne sais pas où j'ai cru lire ça. Il faut dire que je nageais en eaux troubles ^^"

Je pense avoir beaucoup mieux compris maintenant, merci beaucoup à toi :D