Problème avec suites

par **adriane** » 10 Avr 2007, 15:50

bonjour à tous,

j'ai un problème dans la résolution d'un problème, qui n'a pas l'air très compliqué pourtant...

g la suite (Un) définie par Uo=0 et kelkesoi n ds N U(n+1)=f(Un)
avec f(x)=x/(exp(x)-1) si x>0

j'ai montré que kelkesoi x ds [0;+inf[ |f ' (x)|<=(inférieur ou égal)1/2
et 0<=f(x)<=1
j'ai résolu l'équation f(x)=x en montrant ke la solution est x=ln2

On veut montrer que:

1)kelkesoi n ds N |U(n+1)-ln2|<=|Un-ln2| (valeurs absolues)

2) établir que la suite Un converge et déterminer sa limite.

je bloque pour ces deux questions

NB:si ça peut aider, f est strictement décroissante sur [0;+inf[, tend vers 1 en 0, vers 0 en + inf

voila, j'espère que vous pourrez m'apporter un ptit coup de pouce
merci

par **fahr451** » 10 Avr 2007, 15:52

bonjour

il n y a pas besoin de la monotonie il suffit d appliquer le TAF à un et ln2 et utiliser l f ' l =<1/2

par **adriane** » 10 Avr 2007, 16:52

ok merci, et pour la convergence et limite de Un ???

par **fahr451** » 10 Avr 2007, 16:54

l u(n+1) -ln 2 l=< (1/2) l u(n) -ln 2 l en itérant ...
l u(n) -ln 2 l =< (1/2)^n l u(0) -ln2l etla maréchaussée permet de conclure

par **serge75** » 10 Avr 2007, 17:30

Le théorème de Sarkozy ?

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