Problème avec le gradient

[wdbg59]

Bonjour, je suis étudiant en physique. Je passe une UE de maths (fonctions de plusieurs variables) d'ici 2 semaines. Mais je bloque sur cet exercice.

Le cercle C de centre (2,0) et de rayon 1 est parcouru par un point mobile P(t) = (x(t),y(t)) dans le sens trigonométrique à vitesse unitaire. A l'instant t=0 on a P(t=0) = (2,1). En sachant que le gradient de la fonction f(x,y) satisfait grad(f(2,1)) = 2i -2014j calculer la dérivée f'(P(t)) lorsque t=0.

Bref, je vois pas bien ce qu'il faut faire, je pense que l'exo est mal rédigé. Si j'ai bien compris, on cherche f'(x(t),y(t)) et on doit trouver la fonction f(x,y) en intégrant les composantes du gradient ? Merci de votre aide.

[L.A.]

Bonjour,

je pense en effet que l'énoncé n'est pas clair, on te demande sans doute de calculer la dérivée en t=0 de la fonction g(t) définie par g(t) = (foP)(t) = f(P(t)).

En gros f est un champ de scalaire dans lequel se déplace le point P et g donne simplement l'évolution du scalaire f au cours du temps en tenant compte que la position de P varie à chaque instant.

On a alors que g'(t) est le produit scalaire du gradient de f en P(t) et du vecteur vitesse P'(t).

[mathelot]

[wdbg59]

J'ai trouvé f'(P(t)) = 1. Je vais essayer avec votre méthode, mais entre temps j'ai essayé quelque chose.

J'ai paramétré le cercle : x(t) = 2 + cos(t) et y(t) = sin(t) pout t compris entre 0 et 2pi.

J'ai pris f(x,y) = (x²/2) - 2014 (y²/2). Avec cette expression, je trouve bien grad(f(2,1)) = 2i - 2014 j .

Ensuite je trouve f(P(t)) = (((2+cos(t))²/2) - 2014 (sin²(t)/2)
En dérivant j'obtient f'(P(t)) = (-2sin(t))(2 + cos(t)) - 2014 cos(t)sin(t)
Et enfin en remplaçant t par 0, je trouve f'(P(0)) = 1 (ce qui correspond à la vitesse unitaire).

Est-ce que cette méthode marche ? En attendant, je vais essayer celle suggérée dans le second post.

[wdbg59]

Ok merci mathelot, entre temps j'avais essayé cette méthode mais j'ai été pris de vitesse ^^. J'avais completement oublié la paramétrisation du cercle... Je vais essayer et voir si je trouve le résultat.

[wdbg59]

En fait, on cherche la dérivée directionnelle de P(t) dans la direction grad(f(x,y)). Je pense que j'ai compris. Je trouve un résultat.

f'(P(t=0)) = = -2 sin(0) - 2014 cos(0) = -2014

[L.A.]

En fait, on cherche la dérivée directionnelle de P(t) dans la direction grad(f(x,y)). Je pense que j'ai compris. Je trouve un résultat.

f'(P(t=0)) = = -2 sin(0) - 2014 cos(0) = -2014

Je dirais plutôt "dérivée directionnelle de f dans la direction de P'(t)".

Et attention, la paramétrisation n'est pas (2+cos t,sin t) puisque à t=0 le point P n'est pas en (3,0) mais en (2,1), il faut donc prendre en compte un déphasage.

[wdbg59]

Ah merci, c'est vrai. C'est plutôt x(t) = 2 + cos(t+ pi/2) et y(t) = sin(t+ pi/2).

[L.A.]

Exactement, et du coup le vecteur vitesse P'(0) n'est pas (-sin(0),cos(0)) (d'ailleurs il doit être horizontal puisqu'on atteint la hauteur y maximale sur le cercle).

[wdbg59]

Merci pour votre aide, je vais reprendre depuis le début.