Probabilités - fonction Gamma

par **MacManus** » 21 Mar 2010, 20:27

Bonsoir

Soit X une v.a. à valeurs dans N, et Y une v.a. à valeurs dans R+. La loi du vecteur (X,Y) est donnée par :

et qu'elle vérifie pour tout entier n positif :

Question :Quelles sont respectivement les lois de X et de Y ?

même à l'aide de la définition des probas conditionnelles ou de changements de variables, je patauge... merci pour votre aide

par **Joker62** » 21 Mar 2010, 20:53

Haileau ;)

quand on voit un (ay)^n/n! généralement on pense tout de suite à développement de exp en série...

Pour avoir la loi de Y, suffit de sommer sur n. C'est le principe des lois marginales.

par **MacManus** » 21 Mar 2010, 21:06

Absolument ! pourquoi n'y ai-je pas pensé ?

ok et

?

par **alavacommejetepousse** » 21 Mar 2010, 21:08

MacManus a écrit:Absolument ! pourquoi n'y ai-je pas pensé ?

ok et ?

non

P(Y<t) =

par **MacManus** » 21 Mar 2010, 21:15

d'accord, merci Joker et alava

...on peut intervertir signes intégral et somme par quel théorème déjà ?
(convergence monotone ?)

par **alavacommejetepousse** » 21 Mar 2010, 21:17

cv normale de la série entiere sur tout segment inclus ds le "disque" ouvert de cv par ex

par **MacManus** » 21 Mar 2010, 21:20

Ok merci pour ces précisions!

par **Joker62** » 21 Mar 2010, 21:35

Ou du Fubini-Tonelli qui demande moins de vérif...

par **alavacommejetepousse** » 21 Mar 2010, 21:38

ou du beppo levy

par **MacManus** » 21 Mar 2010, 21:38

oui il suffit que l'une des valeurs absolues (de la somme ou de l'intégrale) soit finie... il me semble

pour la loi de Y je trouve

pour calculer la loi de X, je procède de la même manière, en sommant sur t ?
j'ai l'impression de dire une grosse bêtise ...

par **alavacommejetepousse** » 21 Mar 2010, 21:41

théorème de la limite monotone

on fait tendre t vers + infini

par **MacManus** » 21 Mar 2010, 21:48

Pour la loi de X, je trouve

par **alavacommejetepousse** » 21 Mar 2010, 21:52

sans doute

les deux lois sont des lois "connues" à savoir ?

par **Joker62** » 21 Mar 2010, 21:54

Déjà en sommant sur n on trouve que ça fait 1, c'est plutôt bon signe :)

par **MacManus** » 21 Mar 2010, 21:55

Euh non, il n'y a pas de lois particulières à reconnaître.
En revanche, on me demande ensuite de calculer la densité de la loi de Y conditionnellement à X, puis de trouver la loi de X conditionnellement à Y (et de reconnaître cette fois-ci une loi)

par **alavacommejetepousse** » 21 Mar 2010, 21:56

MacManus a écrit:Euh non, il n'y a pas de lois particulières à reconnaître.
En revanche, on me demande ensuite de calculer la densité de la loi de Y conditionnellement à X, puis de trouver la loi de X conditionnellement à Y (et de reconnaître cette fois-ci une loi)

ben même si ce n est pas demandé on peut lever la tête et regarder quand même

par **MacManus** » 21 Mar 2010, 22:03

Ca ressemble à une sorte de loi uniforme non (pour la loi de X) ?

par **alavacommejetepousse** » 21 Mar 2010, 22:08

la loi de Y est exponentielle

celle de X ' = X+1 est la loi géométrique

par **MacManus** » 21 Mar 2010, 22:16

ah oui je suis d'accord, on le vérifie comme tu dis .
Bon pour le reste je devrais y arriver

merci beaucoup

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