Probabilité " chapeeeeau!!!!!!!!"

par **houda 20** » 08 Jan 2010, 23:35

bonsoir tout le monde

dans une rencontre,n hommes posent leurs chapeaux dans une chambre, on les redistribue les chapeaux d'une facon aleatoire

1-quelle est la probabilité qu'exactement k personnes auront leurs chapeaux
2-quelle est la probabilité qu'une seule personne aurait son chapeau
3-quelle est la probabilité que seulment deux personne n'auront pas leurs chapeaux " donc chacun va prendre le chapeau de l'autre"

merci

par **Ben314** » 09 Jan 2010, 10:11

Salut Houda,
C'est du "trés classique" et... tu devrait y arriver...
Il suffit de calculer le nombre de cas favorable / nombre de cas total.
(on suppose évidement que tout les chapeaux sont différents)

par **SlowBrain** » 09 Jan 2010, 10:48

Ce problème se limite à du dénombrement (nombre d'évènements favorables)/(nombre total d'évènements). Dans les trois cas, le nombre total est le même : nombre de permutations possibles des chapeaux, soit autrement dit dans combien d'ordres peut-on aligner 1,2,3,...,N (-> 3,5,1,2,9,N...) et quelles sont les permutations à retenir pour modéliser les différents cas.

par **alavacommejetepousse** » 09 Jan 2010, 19:33

bonsoir ce problème est très classique historiquement problème des rencontres mais n'est pas si facile

c'est du dénombrement qui utilise la formule de poincaré le cas crucial est k = 0 c'est à dire 0 rencontre

il faut compter les permutations sans points fixes c'est à dire les dérangements il n'y a pas de formule explicite le résultat s 'écrit grâce à poincaré sous forme d'une somme

le cas k quelconque s'y ramène.

en revanche en MOYENNE il ya exactement un homme qui tire son chapeau

par **houda 20** » 09 Jan 2010, 23:15

Ben314 a écrit:Salut Houda,
C'est du "trés classique" et... tu devrait y arriver...
Il suffit de calculer le nombre de cas favorable / nombre de cas total.
(on suppose évidement que tout les chapeaux sont différents)

bonsoir
merci
oui, j'ai essayé, et ça va avec le 2, ça marchera normalement pour le 3, et il me reste le 1, ,
on nous l'a donné comme étant une application du th de poincaré

par **houda 20** » 09 Jan 2010, 23:16

SlowBrain a écrit:Ce problème se limite à du dénombrement (nombre d'évènements favorables)/(nombre total d'évènements). Dans les trois cas, le nombre total est le même : nombre de permutations possibles des chapeaux, soit autrement dit dans combien d'ordres peut-on aligner 1,2,3,...,N (-> 3,5,1,2,9,N...) et quelles sont les permutations à retenir pour modéliser les différents cas.

merci pour l'explication

par **houda 20** » 09 Jan 2010, 23:21

alavacommejetepousse a écrit:bonsoir ce problème est très classique historiquement problème des rencontres mais n'est pas si facile

c'est du dénombrement qui utilise la formule de poincaré le cas crucial est k = 0 c'est à dire 0 rencontre

il faut compter les permutations sans points fixes c'est à dire les dérangements il n'y a pas de formule explicite le résultat s 'écrit grâce à poincaré sous forme d'une somme

le cas k quelconque s'y ramène.

en revanche en MOYENNE il ya exactement un homme qui tire son chapeau

bonsoir
merci
evidemment on nous demande d'utiliser le th de poincaré

par **alavacommejetepousse** » 09 Jan 2010, 23:39

si tout est évident rien à dire; moi j'ai lu une question brute de décoffrage la solution est donc évidente et la probabilité d'avoir 0 rencontre tend de façon évidente quand n tend vers l' infini vers 1/e.

par **houda 20** » 09 Jan 2010, 23:47

oui, c'est la meme chose qu'avec la probabilité qu'aucune personne n'aurait son chapeau
je pense qu'ils suivent le meme principe

par **Ben314** » 09 Jan 2010, 23:54

alavacommejetepousse a écrit:si tout est évident rien à dire; moi j'ai lu une question brute de décoffrage la solution est donc évidente et la probabilité d'avoir 0 rencontre tend de façon évidente quand n tend vers l' infini vers 1/e.

Je te trouve tout de même bien agressif, il me semble que personne n'a dit que c'était "évident" !!!

par **houda 20** » 10 Jan 2010, 00:07

Ben314 a écrit:Je te trouve tout de même bien agressif, il me semble que personne n'a dit que c'était "évident" !!!

bonsoir
en fait, voilà comment je vais procéder avec la première question
si on pose
Ai=la i eme personne a eu son chapeau
notre evt s'écrit
E=Ai1.Ai2.A.....Aik.Ai(k+1) barre.Ai(k+2) barre.......Ain barre
avec i1,....ik sont entre 1 et n

par **houda 20** » 10 Jan 2010, 00:18

alors je ne sais pas, pour passer à poincaré on calcule dons la probabilité de Ebarre

Ben, tu as une autre méthode??
on pourrait le faire avec cas fav/cas possibles??
j'ai essayé
cas fav
on a déjà Cn,k " le nbre de choix des k personnes"
pour les Aik, on 1.1......1 kfois

mais le problème reste dans le nbre des fav pour le reste des personnes qu'ils ne devront pas avoir leurs chapeau.........

cas possibles
n! , c'est ça???

par **alavacommejetepousse** » 10 Jan 2010, 00:19

je suis nullement agressif mais tu as utilisé l adverbe évidemment

la solution est infra

par **Ben314** » 10 Jan 2010, 00:28

alavacommejetepousse a écrit:je suis nullement agressif mais tu as utilisé l adverbe évidemment

Il me semble que, vu ou est situé l'adverbe, il se raporte à "les chapeau sont différent"...
Bon, de toute façon, on va pas s'énerver pour ça...

Pour Houda, je vois pas trop comment tu as fait la question 2) sans arriver à faire la 1) : la difficulté est la même dans les deux cas.
Pour la 1), il faut dénombrer le nombre de permutations de {1..n} qui ont exactement k points fixes.
Pour le calculer, il faut savoir combien de permutations de {1..m} (avec ici m=n-k) n'ont aucun point fixe (et c'est là que l'on utilise la formule qui donne le cardinal d'une réunion)

Ce qui me parrait bizare c'est qu'on en a tout autant besoin dans le 2) que dans la 1)....

par **alavacommejetepousse** » 10 Jan 2010, 00:42

Ai : "l homme i tire son chapeau

X : le nbre d'hommes qui tirent leur propre chapeau

{X différent de 0 } = U Ai

en appliquant la formule de poincaré

card(Ai1 ,...,Aik) = (n-k)!

d'où

P(X=0) = sigma (-1)^k /k!

par **houda 20** » 10 Jan 2010, 23:21

bonsoir
voilà Ben pour le 2.
soit Ai= la ieme personne a eu son chapeau
notre evenement recherché est
A1 barre.A2 barre.....A(i-1) barre.Ai.A(i+1) barre.....An barre=E

on passe à calculer la probabilité de E barre
E barre= A1 union ..... union A(i-1) union.Ai barre union A(i+1) union..... union An
E barre= [A1union ..... union A(i-1) union A(i+1) union..... union An] union Ai barre

p(Ebarre)=p[A1union ..... union A(i-1) union A(i+1) union..... union An]+p(Ai barre)-
p(Ai barre . [A1union ..... union A(i-1) union A(i+1) union..... union An])

et là on utilise poincaré pour calculer .
c'est trop long, je sais, mais je me suis arrivé à le modéliser de cette façon, maintenant je vais me concentrer avec ta réponse
merci

par **houda 20** » 11 Jan 2010, 22:53

bonsoir
Alors Ben ce que j'ai fait pour le 2, est vrai?

par **Ben314** » 11 Jan 2010, 23:19

houda 20 a écrit:A1 barre.A2 barre.....A(i-1) barre.Ai.A(i+1) barre.....An barre=E

j'apellerais plutôt cet événement E indice i, et ce que tu cherche est la proba de la réunion des Ei.
C'est pas super gràve car, comme les Ei sont disjoints, la proba de la réunion est la somme des proba.

houda 20 a écrit:p(Ebarre)=p[A1union ..... union A(i-1) union A(i+1) union..... union An]+p(Ai barre)-
p(Ai barre . [A1union ..... union A(i-1) union A(i+1) union..... union An])
et là on utilise poincaré pour calculer.

Je vois pas bien à quoi ça va t'ammener d'utiliser le principe dinclusion-exclusion ici...

Si tu regarde ton post #12 et le mien #14, il me semble qu'il faut absolument commencer par calculer le nombre de permutations sans point fixe (i.e. le nombre de façon qu'aucune personne n'ait son propre chapeau).

Une des façon de calculer ce nombre est donnée par le post #15 de alavacommejetepousse. (en utilisant le principe dinclusion-exclusion)

par **houda 20** » 11 Jan 2010, 23:38

on l' a déjà calculé en classe, et on a utilisé poincaré, c'est 1/e
il nous restait juste le 1. pour les deux autres je les ai ajouté pour m'entrainer
j'ai essayé de faire la meme chose avec le 2. mais ta méthode est bcp plus mieux,......
avec ce "dénombrer" je me perds un peu.....

par **Ben314** » 11 Jan 2010, 23:56

houda 20 a écrit:on l' a déjà calculé en classe, et on a utilisé poincaré, c'est 1/e

Pas vraiment, 1/e c'est la limite de la proba. quand n tend vers l'infini. Ici il te faut la proba. pour un n donné (ou le cardinal de l'ensemble, ça revient au même).
Si tu as déja fait le calcul en cours, tu as du calculer le nombre de parmutations sans point fixes de l'ensemble {1..n} (en calculant le cardinal de son complémentaire à l'aide du principe dinclusion-exclusion) :
C'est

Probabilité " chapeeeeau!!!!!!!!"

probabilité " chapeeeeau!!!!!!!!"

Qui est en ligne