Proba - Révision

[barbu23]

Bonjour,

Je m'entraîne un peu aux exo liés aux probabilités, et j"aimerais commencer par l'exo suivant :

Démontrer que pour tout entier naturels et tels que : , on a :

En déduire que pour tous entiers naturels et tels que : , on a :


On considère deux entiers naturels et tels que : .
On dispose d'une urne contenant n boules indiscernables au toucher.
Deux des boules sont rouges, et les autres sont blanches.
On tire au hasard et simultanément boules de l'urne.
On appelle l’événement "au moins une boule rouge a été tirée".


- Exprimer en fonction de et de la probabilité de l'événement , contraire de . Et en déduire la probabilité de .
- Exprimer d'une autre manière la probabilité de l'événement et montrer à l'aide de la formule obtenue à la question que l'on retrouve le même résultat.

Merci d'avance.

[barbu23]

J'ai réussi à faire la première question sans difficultés :
En effet :


Est ce que c'est correct ?

[barbu23]

Pour la deuxième question, voiçi comment je fais, en s'appuyant sur le résultat de la première question :

[barbu23]

Pour la troisième question :
Puisque les boules sont indiscernables, alors, les tirages sont équiprobables.
L'événement est l’événement qui consiste à ne tirer aucune boule rouge, c'est à dire l'événement qui consiste à tirer que des boules blanches qui sont en nombre de .
Finalement, on trouve que :

Et Donc, .

Svp, comment faire à la question ?

Merci d'avance. :happy3:

[BiancoAngelo]

Oui, ce que tu as fait est valable.

Sans quoi, le premier résultat est très visible, en considérant que les C(n,k) sont un nombre de combinaisons et qu'on compte celles-ci avec un arbre dont les branches se séparent toujours en 2.

Ca explique du coup la construction du triangle de Pascal, ou pourquoi les coefficients de (a+b)^n sont donnés par les C(n,k)...

[jlb]

Salut, comment tu traduis "au moins une rouge" quand il y a deux boules rouges?

[barbu23]

Salut, comment tu traduis "au moins une rouge" quand il y a deux boules rouges?

Salut :
Merci à vous deux pour vos réponses.
Je traduis "au moins une rouge" lorsqu'il n'y'a que deux rouges, par : soit il y'a une rouge soit il y'a deux rouges, non ? Tu fais allusion à la question , non ?
Donc : , non ?
est l'événement qui consiste à ne tirer qu'une seule boule rouge, et est l'événement qui consiste à tirer les deux boules rouges qu'il y'a, c'est ça ?.

[BiancoAngelo]

Au détail près que quand tu as choisi ta rouge (ou les deux), tu dois choisir les autres parmi (n-2) blanches, et pas (n-1).

Donc c'est plutôt :

,

Et effectivement, car les événements B1 et B2 sont bien d'intersection vide (on ne peut pas avoir à la fois qu'une boule rouge et deux boules rouges).

[barbu23]

Au détail près que quand tu as choisi ta rouge, tu dois choisir parmi (n-2) blanches, et pas (n-1).

Ah oui, tu as raison, merci.
Si on poursuis le calcul, nous allons donc trouvé le même résultat que la question . :lol3:

[BiancoAngelo]

Ah oui, tu as raison, merci.
Si on poursuis le calcul, nous allons donc trouvé le même résultat que la question . :lol3:

De rien, et oui effectivement, on retombe donc sur le résultat trouvé avant :lol3: