Primitive et Intégrale

[nix64]

Bonjour

un peu d eclairsissement s il vous plait

[pascal16]

une primitive est définie à une constante près
et atan est-elle continue ?

[aviateur]

Bonjour
Pour pouvoir répondre exactement à ta question, j'aimerais comprendre ce qui est demandé exactement.
On te demande de calculer
où alors on te demande de donner
l'expression d'une primitive F de la fonction f(t)=1/(2+cos(t)).

[Ben314]

Salut,

Sur un INTERVALLE donné, une primitive est définie à une constante près

Et vu l'exo., c'est plus qu'important de comprendre qu'en général, il y a autant de constantes d'intégrations (éventuellement différentes) qu'il y a d'intervalles dans le domaine de définition de la fonction.
Par exemple, les fonctions définies et dérivables sur et telles que , c'est très exactement celles définies par où et sont deux constantes arbitraires.
Et évidement, deux telles primitives de la même fonction ne diffèrent pas d'une constante.

[nix64]

Bonjour
Pour pouvoir répondre exactement à ta question, j'aimerais comprendre ce qui est demandé exactement.
On te demande de calculer
où alors on te demande de donner
l'expression d'une primitive F de la fonction f(t)=1/(2+cos(t)).

Ce que j ai compris la fonction est continue sur donc elle admet une primitive F et la fonction est continue

on a donc trouves les primitive de
on veut maintenant calculer

pour cela voici comment il a procedé



pourquoi la contnuité de F
pourquoi on a pas fait directement sans faire la continuité de F en (2n+1)
est ce qu il ne suffit pas d avoir une primitive pour calculer un intégrale sur un segment comme on le fait toujours par exemple sinx + cst est une primitive de cosx donc on a toujours fait

[Black Jack]

Salut,

on a donc trouves les primitive de ...


Ben non,

Comme F(t) = (2/V3) * arctan(tan(t/2)/V3) n'est pas définie en t = Pi (puisque lim(x--> Pi+) tan(t/2) = +oo et lim(x--> Pi-) tan(t/2) = -oo)

Le domaine de définition de F n'est donc pas connexe sur [0 ; 2Pi].

Il n'y a alors aucune raison pour que la constante (qu'on ajoute pour avoir "soit-disant" toutes les primitives), soit la même dans les 2 "morceaux" du domaine de définition.

Pour avoir toutes les primitives (sur [0 ; Pi[ U ]Pi ; 2Pi]), on DOIT écrire :

F(t) = (2/V3) * arctan(tan(t/2)/V3) + K1 pour t dans [0 ;Pi[
F(t) = (2/V3) * arctan(tan(t/2)/V3) + K2 pour t dans ]Pi;2Pi]

Avec K1 et K2 des constantes quelconques.

Si maintenant, on veut UNE primitive valable sur [0 ; 2Pi]

On doit prolonger F en t = Pi et il faut de plus trouver une relation entre K1 et K2 pour que F soit continue en t = Pi.

Si on le fait, on trouve la relation K2 = K1 - 2Pi/V3 et en prolongant F en t = Pi, on trouve F(Pi) = Pi/V3

Donc, LES primitives valables sur [0 ; 2Pi] sont :

F(t) = (2/V3) * arctan(tan(t/2)/V3) + K1 pour t dans [0 ; Pi[
F(Pi) = Pi/V3 + K1
F(t) = (2/V3) * arctan(tan(t/2)/V3) + (K1 - 2Pi/V3) pour t dans ]Pi ; 2Pi]

Et si on désire UNE primitive valable sur [0; 2Pi], il suffit de donner une valeur numérique particulière à K1.

Si par exemple on choisit K1 = 0, alors :

F(t) = (2/V3) * arctan(tan(t/2)/V3) pour t dans [0 ; Pi[
F(Pi) = Pi/V3
F(t) = (2/V3) * arctan(tan(t/2)/V3) - 2Pi/V3 pour t dans ]Pi ; 2Pi]

est UNE primitive sur [0,2Pi] de f(t) = 1/(2+cos(t))

Remarque :
Ici, jai traité le domaine [0;2Pi].
On peut évidemment étendre un raisonnement similaire à R avec alors une infinité de "morceaux".

Voila, avec mon vocabulaire de non matheux et donc sûrement avec quelques imprécisions.

[aviateur]

Bonjour
Je comprends mieux.
En fait on peut dire qu'il y a 2 questions
Il y a
1. la question des primitives de f(t)=1/(2+cos(t)) sur R
2. la question du calcul de l'intégrale de cette fonction sur l'intervalle
Et bien pour répondre à la question 2. on n'a effectivement pas besoin de répondre entièrement à la question 1, on a juste besoin de connaître une expression d'une primitive de f sur . Notons la F cette primitive.
alors l'intégrale vaut un point c'est tout.

Néanmoins la question 1. elle a un but pédagogique . En effet si je reprends ce que tu dis l'intégrale I vaut
Mais alors dans ce cas on trouve I=0.
Personnellement je ne préfère pas poser la question 1. pour la question 2. En effet celui qui ne voit pas la difficulté a priori, devrait la voir a posteriori.
Car la fonction f(t) est manifestement strictement positive (ça se voit) dont I>0 et ne peut être égal à zéro.
C'est là qu'il faut voir le problème: l'expression de la primitive n'est valable que sur des intervalles de la forme modulo
C'est à dire que l'expression donnée de F sur n'est pas bonne.
sur il faut ajouter une constante que l'on trouve grâce à la continuité.
Maintenant on peut éviter tout se travail en remarquant que
est un axe de symétrie pour la fonction f définie
sur d'où
car par continuité.

[aviateur]

Une remarque concernant le calcul de l'intégrale: pour celui qui connait le théorème des résidus, on pose l'intégrale devient

(le cercle unité étant parcouru dans le sens trigo).
D'où

[nix64]

@aviateur
j ai écrit la continuité de F comme ça

commeent la continuité de F en nous donne la primitive

[Black Jack]

Petite correction de signe dans ma réponse précédente :

F(t) = (2/V3) * arctan(tan(t/2)/V3) + K1 pour t dans [0 ;Pi[
F(t) = (2/V3) * arctan(tan(t/2)/V3) + K2 pour t dans ]Pi;2Pi]

lim(x --> Pi-) F(t) = (2/V3) * Pi/2 + K1
lim(x --> Pi+) F(t) = (2/V3) * (-Pi/2) + K2

On doit avoir : (2/V3) * Pi/2 + K1 = (2/V3) * (-Pi/2) + K2

(Pi/V3) + K1 = (-Pi/V3) + K2

K2 = K1 + 2Pi/V3

Et donc :

F(t) = (2/V3) * arctan(tan(t/2)/V3) + K1 pour t dans [0 ;Pi[
F(t) = (2/V3) * arctan(tan(t/2)/V3) + K1 + 2Pi/V3 pour t dans ]Pi;2Pi]

...

[aviateur]

Rebonjour

Sur
sur
Avant de revenir sur l'expression de la primitive, je tiens à faire remarquer que la fonction f étant 2\pi périodique, l'intégrale de
0 à 2pi égale l'intégrale de -\pi à \pi égale 2 fois l'intégrale de 0 à pi
(puisque f est paire) donc ce travail sur la primitive n'est pas vraiment nécessaire.

Revenons à cette primitive. Posons
Il faut remarquer que n'est pas définie mais que quand t tend vers par valeur négative G(t ) tend vers
quand t tend vers par valeur positive G(t ) tend vers

Or F est continue en t=Pi , donc la limite à gauche doit être égale à la limite à droite: on doit donc avoir
i.e

Perso pour calculer I, utilisant les symétries on a Mais quand j'écris G(\pi) il faut comprendre par là qu'il s'agit de la limite à gauche de G(t) qui existe puisque la primitive est continue sur R.

[nix64]

merci beaucoup mais cette notion de limite ou intégrale indéfinie c est le programme de la 2ème le résidu c est le programme de la 3 eme j aurai volu bien comprendre avec les outils de la première année MP je ne suis pas entrain d' insister le plus important pour moi c est pas combien elle vaut cette intégrale finalement mais comment manipuler cette constante pour avoir la continuité ou comment trouver la constante qui marche pour un intervalle

[aviateur]

Et bien je ne comprends pas ton problème.
Avec mes notation on sait que G(t)= est une primitive de f sur
chaque intervalle de la forme
Donc soit F une primitive de f sur R.
La restriction de F à est de la forme où p_n est une constante. Maintenant il reste à exprimer la continuité de F en chaque point de la forme Ce qui donne une relation entre et C'est ce qu'on à fait pour n=0
(mais n qcq c'est pareil et c'est ce qui est fait dans le corrigé. )
Maintenant concernant le calcul avec les résidus c'est pour la communauté bien sûr.
En fait tous les éléments sont dans ton corrigé et aussi dans les divers messages. A mon avis, on dirait qu'il y a quelque chose qui t'échappes
mais on ne voit pas vraiment quoi.

[nix64]

donc pour n= 0; K=0 pourquoi s il vous plait ?

[aviateur]

Evidemment tu as une relation entre les consécutifs.
Mais lorsqu'on a une primitive F (sur R) on obtiens toutes les autres en ajoutant une constante. Donc on en choisit une parmi toutes en choisissant par exemple k_0=0 (mais ce n'est qu'un choix).