Précompact et complet => compact

[vysy]

[FONT=Comic Sans MS]Bonjour !
Soit (E,d) un espace métrique précompact (ie. , un recouvrement fini de E par des boules ouvertes de rayon ) et complet.
Soit une suite de E.
On peut alors recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes de rayon 1 par exemple.
Mais ensuite dans la démonstration du livre, il dit qu'il existe une de ces boules qu'on nomme qui contient la valeur pour une infinité d'indices n.
C'est l'infinité d'indices que je ne comprends pas.
Pour moi, la totalité de la suite n'est pas forcément dans une seule boule ouverte.
Quelqu'un aurait une idée à me proposer?[/FONT]

[Finrod]

Si par contraposé, il y a une infinité de termes de la suite et un nombre fini de boules.

S'il y avait un nombre fini de dans chaque boule, il y aurait en tout un nombre fini de .

Donc nombre infini de au total implique qu'il existe une boule contenant elle même un nombre infini de

[Ben314]

Salut,
Il n'y a qu'un nombre fini de boules et une infinité d'indice donc...
Par contre, effectivement, cela ne veut pas dire que tout les sont dans la même boule à partir d'un certain rang.
MAIS, en considérant une suite extraite...

Edit : grillé par Finrod...

[vysy]

[FONT=Comic Sans MS]merci, c'est pigé![/FONT]

[vysy]

[FONT=Comic Sans MS]J'ai plus qu'un seul détail que je n'ai pas saisi c'est :
Juste après, la démonstration dit que la boule est inclue dans E. (pour moi c'est pas du tout vrai...)[/FONT]

[Ben314]

Ben, évidement, tout dépend de la façon dont tu définit la boule...

Vu le contexte, à mon avis, le ?? est E ici, donc par définition, les boules sont contenues dans E !!!!

P.S. Je pense que tu envisageait le cas où E est une partie d'un "plus gros" espace E' et ou le ?? est E'...

[vysy]

[FONT=Comic Sans MS]Oui en effet dans ma tête les boules pouvaient "déborder" à l'extérieur de E.
Tu as raison. Merci bien![/FONT]