Précompact et complet => compact

[Pythix]

Bonjour,
j'ai un nouveau problème,

le but de mon exercice de de montrer qu'un espace métrique est compact si et seulement si il est précompact (pouvant etre recouvert par un nombre fini de boules) et complet.

X compact => X précompact et complet, pas de problème

X précompact et complet => X compact

- j'ai montré l'existence d'une suite de points de X telle que et telle que contienne une infinité de termes de la suite (suite de X).

- Puis j'ai montré que la suite était de cauchy et donc qu'elle converge

- Pour arriver à X compact je dois désormais montrer que la limite de est une valeur d'adhérence de .

soit -> y
je veux donc montrer que contient une infinité de termes de ...
et là j'ai essayé par l'absurde mais sans succès...
Si quelqu'un peut m'aider!

Merci d'avance

[fahr451]

pour epsilon fixé

à partir d'un certain rang n0

on a yn dans B(y , epsilon/2)

et en prenant n tel que 1/2^n < epsilon/2 on a


B(yn , 1/2^n ) incluse dans B (y, epsilon) (inégalité triangulaire)


il y a une infinité de termes de la suite x dans la première boule donc dans la deuxième également

[Pythix]

quand vous dites inégalité triangulaire, c'est :


et on peut conclure que incluse dans ?

[fahr451]

pas exactement

soit z dans B(yn , 1/2^n)

alors

d(y,z)=< d(y,yn) +d(yn,z)=< epsilon /2 + 1/2^n =< epsilon et z dans B (y,epsilon) et l inclusion d es boules

[Pythix]

merci beaucoup