Precision sur le cours et les espaces L...

[Als128]

Bonjour,

Voila je croyais que c'etait clair dans ma tête mais en fait non... Je crois que j'arrive pas à saisir la différence entre et

Quelqu'un peut eclairer ma lanterne ? parce que mon cours dit :

c'est l'espace vectoriel quotient de par le sous-espace vectoriel des fonctions nulles -presque partout

:hein: je ne comprends pas...

Merci !

[Ben314]

Cela dit simplement que, lorsque deux fonctions sont égales p.p. alors leur classes sont égales dans le Lrond.
On peut à la rigueur dire (c'est un abus de langage) les fonctions sont égales dans Lrond.
Ce qui n'est pas un abus de langage du tout, c'est d'écrire :
Les fonctions f et g sont égales p.p.

Si tu veux une analogie plus simple cette construction (le quotient) est du même genre que la construction de Z/nZ qui permet d'écrire :
classe(x)=classe(y) dans Z/nZ
à la place de
x congru y modulo n

Ici, on a donc (par définition) :
classe(f)=classe(g) dans Lrond
ssi
f=g presque partout

L'intérêt, (comme Z/nZ) est de pouvoir travaille directement sur les classes car par exemple pour intégrer, on peut remplacer une fonction par une autre qui lui est égale p.p.

[Als128]

oui mais je comprends pas : Lrond 1 est bien l'ensemble des fonctions qui sont m-intégrables, non ? donc L1 ca représente quoi par rapport à ça ?

[Ben314]

1ére remarque : dans mon premier post, c'est des L"droit" et pas "rond" partout..... désolé

Un élément de L"rond" est effectivement une fonction
Un élément de L"droit" est une classe de fonction c'est à dire un ensemble de fonction. Je pense que la plupart des gens (en tout cas c'est mon cas) raisonnent avec les élément de L"droit" comme étant une fonction_que_l'on_ne_connait_pas_complètement....

Pour reprendre l'analogie, dans Z/5Z, un élément est une classe d'entier, c'est à dire un ensemble d'entier :
classe(2)={...,-8,-3,2,7,12,...}
c'est ce qui permet d'écrire par exemple
classe(2)=classe(7)

En fait, dans la "pratique", quand on me dit "on prend un élément de Z/5Z" je n'imagine pas vraiment un ensemble de nombre entier, mais plutôt un seul nombre entier que je connais.... à un multiple de 5 prés (c'est évidement la même chose !!!)

Est ce que cela clarifie le problème ?

Au début, il est souvent assez dificile de bien raisonner avec les ensembles "quotients", normalement, on fini par s'y faire...

[Als128]

Est ce que je me trompe si je dis que Lrond représente l'ensemble des fonctions qui sont m-intégrables et que L1 correspond (par abus de langage) aux fonctions de Lrond 1 auquel on a "enlevé" les fonctions à classe d'équivalence égale (sous entendu : comme elles sont egales pp, les fonctions st les mêmes)

Par ex si Lrond =(f,g,h,t,b,.....) avec f=t mpp et h=b mpp, on aura L =(f,g,h,...)

[Ben314]

Sur le principe, c'est exactement ça.
Formulé de façon plus technique, ce que tu essaye de faire est "de ne garder qu'un seul représentant par classe"
Par exemple pour Z/5Z c'est trés facile : dans chaque classe, il y a un et un seul entier n tel que 0<=n<5, donc on peut "identifier" une classe avec son unique représentant dans {0,1,...4}. Je pense qu'intuitivement, c'est ce que tout le monde fait.

Pour L"droit" c'est un peu plus complexe car, dans une classe donnée, il n'y en général pas de "représentant" plus simple que les autres.
Dans certains cas particulier, il peut y avoir un représentant "mieux que les autres" par exemple, si on est sur R muni de la mesure de lebesgue, lorsqu'une classe contient une fonction continue, elle n'en contient qu'une seule.
Hélas, dans l'immense majorité des classes, il n'y a... aucune fonction continue.

Fais attention aussi que "formellement" une classe est un ensemble
donc normalement, tu devrais écrire :
Lrond ={f,g,h,t,b,.....} avec f=t mpp et h=b mpp, on aura L ={{f,t},{g},{h,b},...}
(Lrond=ensemble ; Ldroit=ensemble d'ensemble)
Mais, sur le principe, le fait que tu ais écrit cela montre que tu as compris l'idée...

P.S. en rajoutant le "par abus de langage" que tu as mis, je pense que l'on peut accepter ce que tu as écrit à la fin (mais ne pas oublier cet "abus de langage")

[Ben314]

Une dernière remarque :
Pour écrire par exemple il faut un "abus de langage".
Pour qu'il n'y en ait pas, il suffit d'écrire où les barres représentent les classes......
Tout ça pour dire qu'avec un peu d'habitude on arrive à rédiger "propre" (i.e. sans abus de langage) assez facilement....

Par exemple :
"Lrond ={f,g,h,t,b,.....} avec f=t mpp et h=b mpp, on aura "
ne contient plus aucun "abus de langage" (et hop !!!!!)

[Als128]

Ok et c'est pour ça que sur L on considère des fonctions et qu'on dit que c'est "par abus de langage" c'est ça ? (alors qu'en fait c'est l'ens des fonctions qui sont mpp égales entre elles)

J'avais pas vu la réponse.;.
C'est all good, merçi pour l'aide !