Ppcm

par **MC91** » 19 Juil 2012, 11:34

Bonjour,

Quand on calcule ppcm (a,b), on le fait pour a et b non nuls.

Je me demandais ce que valait ppcm(0,0)... Pour moi ça fait 0, car si m multiple de 0, m=k X 0 donc m=0.

Par contre, dans le cas de ppcm (a,0), avec a non nul, je n'en sais rien...

Si on pose m= ppcm (a,0), on a m=k'0, donc m vaut 0. Mais on a aussi m=ka, et dans ce cas a t on le droit de prendre k=0 pour confirmer m=0?

Merci d'éclairer ma lanterne, tout ça est encore un peu flou pour moi...

Bonne journée.

par **leon1789** » 19 Juil 2012, 11:42

quel que soit l'entier a (nul ou pas nul),
pgcd(a, 0) = pgcd(0, a) = a
ppcm(a, 0) = ppcm(0, a) = 0

par **MC91** » 19 Juil 2012, 19:00

leon1789 a écrit:ppcm(a, 0) = ppcm(0, a) = 0

Est ce une convention, ou peut on l'expliquer comme j'ai essayé de le faire au dessus?
Bonne soirée

par **leon1789** » 19 Juil 2012, 19:14

on peut l'expliquer comme tu l'as fait.

Le ppcm est le plus petit multiple commun positif.

Or quels sont les multiples de 0 ?
Et quels sont les multiples communs à 0 et un entier a ?
Quel est le plus petit multiple commun à 0 et un entier a ?

par **MC91** » 19 Juil 2012, 19:30

leon1789 a écrit:on peut l'expliquer comme tu l'as fait.

Le ppcm est le plus petit multiple commun positif.

Or quels sont les multiples de 0 ?
Et quels sont les multiples communs à 0 et un entier a ?
Quel est le plus petit multiple commun à 0 et un entier a ?

multiple de 0 :un seul je pense, 0
multiple commun à 0 et à a : 0
plus petit multiple commun à 0 et à a : 0

Autre question : du coup, tous les nombres ont 0 pour multiple, puisque dans b=ka, on peut prendre k=0 donc b=0. Est ce pour ça que l'on dit que le ppcm est STRICTEMENT positif? Ce serait logique...

Merci vivement pour ton aide.

par **leon1789** » 19 Juil 2012, 20:26

MC91 a écrit:multiple de 0 :un seul je pense, 0
multiple commun à 0 et à a : 0
plus petit multiple commun à 0 et à a : 0

:++:

MC91 a écrit:Autre question : du coup, tous les nombres ont 0 pour multiple, puisque dans b=ka, on peut prendre k=0 donc b=0. Est ce pour ça que l'on dit que le ppcm est STRICTEMENT positif? Ce serait logique...

Ben le ppcm de deux entiers a et b est strictement positif quand les deux entiers a et b ne sont pas nuls
Si a (ou b) est nul, le ppcm n'est pas strictement positif puisqu'il est nul.

MC91 a écrit:Merci vivement pour ton aide.

De rien. :lol3:

par **MC91** » 20 Juil 2012, 09:07

leon1789 a écrit::++:

Ben le ppcm de deux entiers a et b est strictement positif quand les deux entiers a et b ne sont pas nuls
Si a (ou b) est nul, le ppcm n'est pas strictement positif puisqu'il est nul.

De rien. :lol3:

Super, merci pour tes confirmations ! C'est beaucoup plus clair ! :id:
A bientot et bonne journée !

par **MC91** » 26 Juil 2012, 19:18

leon1789 a écrit:quel que soit l'entier a (nul ou pas nul),
pgcd(a, 0) = pgcd(0, a) = a
ppcm(a, 0) = ppcm(0, a) = 0

Bonsoir, je reviens sur ce sujet, cette fois ci pour des précisions sur le pgcd.
Leon, tu avais dit que pgcd(a, 0) = pgcd(0, a) = a, pour a nul ou non nul.

Mais pour moi, pgcd(0, 0) = infini... non?

Merci pour vos futures réponses

par **Luc** » 26 Juil 2012, 22:39

Si a est un entier naturel non nul, pgcd(a,0)=a
Mais pgcd(0,0) n'est pas défini (ou si l'on veut est égal à l'infini) car tout entier est diviseur de 0 :l'ensemble des diviseurs de 0 est

.

Si a est un entier naturel , nul ou non nul, ppcm(a,0)=0 (l'ensemble des multiples de 0 est en effet réduit au singleton {0}, et 0 est multiple de a)

Luc

MC91 a écrit:Bonsoir, je reviens sur ce sujet, cette fois ci pour des précisions sur le pgcd.
Leon, tu avais dit que pgcd(a, 0) = pgcd(0, a) = a, pour a nul ou non nul.

Mais pour moi, pgcd(0, 0) = infini... non?

Merci pour vos futures réponses

par **Skullkid** » 26 Juil 2012, 22:49

Bonsoir, pgcd(0,0) est bien défini et égal à zéro si on prend la définition du pgcd au sens de la relation de division (pour laquelle 0 est le plus grand élément de Z), ou la définition équivalente mais formulée en termes plus généraux avec les idéaux de Z.

par **Luc** » 27 Juil 2012, 17:13

Effectivement, mon post n'est valable qu'avec la définition "naïve" du PGCD, dans laquelle pgcd(a,b) est défini comme le plus grand élément au sens de l'ordre < de l'ensemble intersection des diviseurs de a et b.
En fait, il existe d'autres définitions plus rigoureuses du pgcd, par exemple celles que donne Skullkid.
Il dit en d'autre mots qu'étant donnés deux entiers a et b, il existe un unique entier d tel que

et

Cet entier est appelé pgcd(a,b). La définition formulée en termes d'idéaux de

s'écrit

(cf. un post sur un autre forum de Nightmare datant de ... 2005!)

Luc

Skullkid a écrit:Bonsoir, pgcd(0,0) est bien défini et égal à zéro si on prend la définition du pgcd au sens de la relation de division (pour laquelle 0 est le plus grand élément de Z), ou la définition équivalente mais formulée en termes plus généraux avec les idéaux de Z.

par **MC91** » 29 Juil 2012, 20:57

Luc a écrit:Effectivement, mon post n'est valable qu'avec la définition "naïve" du PGCD, dans laquelle pgcd(a,b) est défini comme le plus grand élément au sens de l'ordre < de l'ensemble intersection des diviseurs de a et b.
En fait, il existe d'autres définitions plus rigoureuses du pgcd, par exemple celles que donne Skullkid.
Il dit en d'autre mots qu'étant donnés deux entiers a et b, il existe un unique entier d tel que et
Cet entier est appelé pgcd(a,b). La définition formulée en termes d'idéaux de s'écrit
(cf. un post sur un autre forum de Nightmare datant de ... 2005!)

Luc

D'accord, merci beaucoup à vous deux !
Bonne soirée.

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