Pourcentage répété

[nergal]

Bonjour,

Je précise que je n'ai qu'un faible niveau en mathématique, je suis ici par curiosité intellectuelle et non pas par besoin scolaire. Ayant quitté l'école il y a fort longtemps je me trompe peut etre de section, il se pourrait que ce soit niveau lycée, désolé si c'est le cas. J'ai tenté de faire un calcul, sur un jeux, et mon impossibilité a résoudre ce problème me l'a redu intéressant :

On reçoit un certains nombre de boites, que l'on peut ouvrir de deux manières :
- On en ouvre 10 d'un coup, on gagne dans 100% des cas, mais une seule fois pour les 10, donc aucune chance de gain multiple.

-On les ouvre une par une, on gagne dans 7% des cas. Sauf erreur de ma part cela donne, pou 10 boites, 51,6% de chances de gagner. Toutefois cela ouvre la possibilité de gains multiples, on peut donc gagner de 0 a 10 fois.

Intuitivement il me parait clair qu'ouvrir les boites par lot de 10 est plus rentable, et je doute que le calcul mathématique me contredise. Toutefois j'aimerais savoir comment calculer le ratio de rentabilité, afin de savoir a quel point la possibilité de gains multiples contrebalance la chance plus faible de gagner.

Merci d'avance.

[fatal_error]

je ne sais pas ce que tu appèles gain multiples.

Par contre on peut calculer la probabilité de "gagner" pour n boites données, n étant multiple de 10.

Dans le cas des lots de boite,
P(lot gagnant)=1/10
P(tirer au moins un lot gagnant pour n boites) = 1-P(tirer aucun lot gagnant pour n boites) = 1-(P(lot non gagnant))^n/tailleDulot

tailleDuLot = 10
P(lot non gagnant) = 1-P(lot gagnant) =9/10
Bref : P(tirer au moins un lot gagnant pour n boites) = 1-(9/10)^(n/10

Pour le deuxieme cas :
P(au moins une boite gagnante pour n boites) = 1-P(aucune boite gagnante n boite) = 1-P(boite non gagnante)^n
avec P(boite non gagnante) = 1-P(boite gagnante) = 93%

[leon1789]

Si j'ai bien tout compris...

Notons g la somme que l'on peut gagner grâce à un paquet.

-1- Si on ouvre 10 boites d'un coup, on gagne g , ni plus, ni moins.

-2- Si on ouvre 10 boites les unes après les autres, quelle est l'espérance de gain ?
C'est une application de la loi binomiale B(n, p) avec n=10 et p=0.07 :
la probabilité de gagner k fois est
si on gagne k fois, alors on empoche k.g (multiples gains)
D'où l'espérance de gain "global" , c'est-à-dire
cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale
et numériquement cela donne une espérance de 0.7 g.

Conclusion : la seconde stratégie est effectivement moins performante que la première. Avec la seconde stratégie, on gagne 30% de moins qu'avec la première.... ou si on préfère, avec la première stratégie, on gagne environ 43% de plus qu'avec la seconde.

[nergal]

Ah, merci beaucoup, c'est exactement la loi que j’espérais trouver :)
Du coup on retombe sur le calcul, que je pensais faux, de 0,07 a 10 reprises donne 0,7.
Merci encore.