Positivité de la dérivée n-ième de tan.

par **BakaBak** » 26 Aoû 2008, 14:21

Bonjour,

Je chercher à montrer (en vain jusqu'à présent), que :

Pour tout x compris entre [0,Pi/2], dérivée n-ième de tan(x) >= 0.
Avec pour indice, tan'=1 + tan².

J'ai tenté plusieurs récurrences mais rien ne marche, ou alors je n'ai pas la bonne méthode.

Merci de votre aide!

par **YLS** » 26 Aoû 2008, 14:30

Attention, la fonction tangente n'est pas définie en

car le cosinus au dénominateur s'annule.

Une récurrence semble fonctionner :
>> pour n=1, P(n) est vraie
>> Si P(n) est vraie pour n entier fixé,

, alors :

(par hypothèse de récurrence)

Non ?

par **Doraki** » 26 Aoû 2008, 14:37

YLS tu as mélangé dérivée n-ième et puissance n-ième.

BakaBak, tu as du remarquer que pour tout n, la dérivée n-ième de tan x peut s'écrire
comme un polynôme Pn en tan x : tan(n) (x) = Pn( tan(x))
Tu as P0 = X, P1 = 1+X², ...
Tu peux donner une relation de récurrence entre Pn et P(n+1) ?
Tu peux montrer que pour tout n, tous les coefficients de Pn sont positifs ?

par **leon1789** » 26 Aoû 2008, 14:37

YLS a écrit:Une récurrence semble fonctionner :
>> pour n=1, P(n) est vraie
>> Si P(n) est vraie pour n entier fixé, , alors :
(par hypothèse de récurrence)

Non ?

Heu, tu ne confonds pas

et

? Je crois que si.

EDIT : grillé par Doraki ! :cry:

par **BakaBak** » 26 Aoû 2008, 16:03

Après 1h passée sur les dérivées successives de tan, que j'ai transformé en polynômes en posant tan=X, on constate d'ailleurs que dans tous les polynômes revient la forme (1+X²), je n'ai pas réussi à établir une loi de récurrence entre les différents polynômes.

Merci quand même Doraki :).

par **mathelot** » 26 Aoû 2008, 16:14

BakaBak a écrit:Bonjour,

Je chercher à montrer (en vain jusqu'à présent), que :

Pour tout x compris entre [0,Pi/2], dérivée n-ième de tan(x) >= 0.
Avec pour indice, tan'=1 + tan².

J'ai tenté plusieurs récurrences mais rien ne marche, ou alors je n'ai pas la bonne méthode.

Merci de votre aide!

ça a l'air faux , car il y a des coefficients négatifs
dans le développement en série de Taylor de la tangente

par **leon1789** » 26 Aoû 2008, 16:19

mathelot a écrit:ça a l'air faux , car il y a des coefficients négatifs
dans le développement en série de Taylor de la tangente

nan nan, c'est

:id:

par **mathelot** » 26 Aoû 2008, 16:40

oui, autant pour moi.

ça récurre très bien

avec coeff positifs

je croyais naivement que seules les exponentielles avaient cette propriété..
impressionnant, toutes les dérivées sont strictement croissantes et convexes.

par **miikou** » 26 Aoû 2008, 18:37

calcule les premiers termes, tu verra que la formul n'est pas tres compliquée :lol4:

par **BakaBak** » 26 Aoû 2008, 19:29

Okay, je pense avoir compris. Merci à tous :we:

par **mathelot** » 26 Aoû 2008, 19:37

Les nombres dérivés n_ième de tan en x=0 sont particulièrement
intéressants car y apparaissent les nombres de Bernoulli.

Positivité de la dérivée n-ième de tan.

Positivité de la dérivée n-ième de tan.

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