Calcul de limite: (tan(3x/2))^tan(3x)

[Sheeppowa]

Bonjour a tous, je suis nouveau sur le forum, je suis actuellement dans le passage de ma première année de prépa TSI à ma seconde année ( les concours arrivent vite ! ) et j'ai beaucoup d'exos a faire pendant les vacs, je voudrais vous en montrer un pour que vous puissiez me dire ce que vous en pensez. ( J'ai cherché évidemment par moi même avant ).

Déterminer lim quand x tend vers PI/6 de la fonction f(x)= (tan(3x/2))^tan(3x) ( le tan(3x) est bel et bien en exposant )

Pour se faire j'ai commencé par étudier la fonction f((PI/6)+h) quand h tend vers 0. ( x=(PI/6)+h) )

Donc on obtient : (tan((PI/4)+(3h/2))^tan((PI/2)+3h)

Avec les formules tan=sin/cos et sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) et cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
J'obtient que mon tangente qui était en exposant vaut au final : -1/tan(3h)
Je fais pareil pour l'autre.

Qu'en pensez vous ? est-ce que je démarre bien ?
J'ai trouver une limite mais je ne suis pas sur ...

[adrien69]

Je trouve 1/e comme limite.

[Sheeppowa]

Je trouve 1/e comme limite.

D'accord, est-ce que tu pourrais m'éclairer sur la démarche que tu as faite pour obtenir ce résultat ?

[Ericovitchi]

Oui il faut effectivement poser x=pi/6+h et puis après il faut faire des développements limités des fonctions (tan puis ln puis e^...) au voisinage de 0 (en commençant par écrire a^b=e^(blna)

C'est un peu long c'est sûr, on trouve f(h)=1/e+3h²/(2e)+o(h^4) qui montre que ça tend bien vers 1/e

[adrien69]

Indeed Ericovitchi

[Sheeppowa]

ok, très bien merci je vais faire ça, merci a vous, bonne journée.

[deltab]

Bonjour à tous.

Je vous propose de calculer dans le cas où celle-ci est la forme indéterminée .

On a donc et

On essaie de calculer et si celle-ci existe, disons , alors .

Comme et comme , quand ,

on peut alors écrire et , on en déduit que si

existe, alors .

Dans le cas présent et .

.

La limite de la dernière expression quand est de la forme . La régle de l'Hôpital donne:



@Sheeppowa

Termines les calcules et conclus

[Sheeppowa]

Et bein, ca s'est rapide, je vous remercie pour cette méthode plutôt efficace, et effectivement on retrouve la limite recherché qui est 1/e.
Mais j'aimerais pouvoir réussir cette exercice en utilisant les développements limités,car oui c est bien de savoir d'autres méthodes avec d'autres règles ( je ne connaissais pas la règle de l'hopital ) mais encore faut t-il que j'arrive à maitriser correctement les outils que je connais.

Je vous explique: je suis bloqué avec les développements limités, en effet, j'ai un terme qui s'écrit 1/tan(3h) et je ne suis pas en mesure de le calculer, je ne peut pas utiliser la formule 1/(1-g) car g doit avoir un terme constant nul et ce n'est pas le cas si on l'applique en faisant 1/[1-(1-tan(3h))].

[Archytas]

Yo,
On peut aussi poser X=tan(3x/2) on remarque alors ce qui donne finalement . Il suffit alors de constater que ln(X) est équivalent à X-1 quand X tend vers 1 pour conclure.
On a jamais trop de méthode, en espérant t'avoir été utile, bonnes vacances !

[deltab]

Bonjour.

@Sheeppowa.

N'espères pas trouver un DL de car . Mais en s'aidant du DL de tan(3h) en h=0, on peut trouver un développement de la forme

[Black Jack]

ln(f(x)) = tan(3x) * ln(tan(3x/2))

lim(x--> Pi/6) [tan(3x) * ln(tan(3x/2))] = lim(x--> Pi/6) [ln(tan(3x/2))/cotan(3x)] qui est de la forme 0/0 ---> application de la règle de Lhospital

= lim(x--> Pi/6) [(3/(2.cos²(3x/2).tan(3x/2)))/-(3/sin²(3x))] = lim(x--> Pi/6) [-sin²(3x)/sin(3x)] = lim(x--> Pi/6) [-sin(3x)] = -1

Et donc lim(x--> Pi/6) [ln(f(x)] = -1

---> lim(x--> Pi/6) f(x) = e^-1 = 1/e

Vive le Marquis de Lhospital ... même si on néglige d'enseigner sa méthode (va savoir pourquoi ?)

:zen:

[Archytas]

D'ailleurs elle dit quoi sa règle ? Que lim f/g = lim f'/g' non ?

[Black Jack]

D'ailleurs elle dit quoi sa règle ? Que lim f/g = lim f'/g' non ?

Oui, enfin à condition de ne pas oublier de vérifier si les conditions pour pouvoir appliquer cette règle sont bien réunies.

Mais si on prend (et c'est indispensable) le peine de vérifier si la règle est applicable ... et que c'est le cas, elle permet souvent d'arriver au but de manière rapide.

:zen:

[Sheeppowa]

Merci a vous ^^

[sarahhana03]

Oui il faut effectivement poser x=pi/6+h et puis après il faut faire des développements limités des fonctions (tan puis ln puis e^...) au voisinage de 0 (en commençant par écrire a^b=e^(blna)

C'est un peu long c'est sûr, on trouve f(h)=1/e+3h²/(2e)+o(h^4) qui montre que ça tend bien vers 1/e

desolé mais j'ai pas compris exactement ,tout ce que j'obtiens apres calcul du tg3h *ln(tg3h/2) c'est ln3h/2[3h+9h^3/3]+27h^3/4. l'exponentielle ne fonctionne pas dans ce cas . c'est la ou je bloque .
Si vous pouviez m'aider pour avoir le 1/e s'il vous plait